ブロカールの問題の証明

ブロカールの問題の証明

ブロカールの問題の概要

$n!+1=m^2$となる自然数$n,m$の組はブラウン数というらしいです(出典はwikipedia)
これは$(4,5),(5,11),(7,71)$以外に存在するでしょうか？

解法

まずはABC予想を示します。

なお、ABC予想の証明は省略します。

ここで、$n!+1=m^2$ならば$n!,1,m^2$は互いに素であるため,ABC予想を適用できる。
つまり、

$$m^2\le K\cdot (\mathrm{rad}(n!)\cdot \mathrm{rad}(m){)}^{1+\epsilon }$$

ここで、$\mathrm{rad}(n!)=n\mathrm{\#}$と書くことができる。$n\mathrm{\#}$というのは素数階乗である。つまり、
$n\mathrm{\#}=\prod _{p\le n,p:\mathrm{prime}}p$である。例えば$10\mathrm{\#}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$みたいな感じ

で、Wikipediaを見ると、$n$が十分大きいときに$n\mathrm{\#}\approx e^n$らしいです。で、$m\approx \sqrt{n!}$なので、うまい具合に$e^n$を$m$で表そうということになります。

スターリング近似を使うことで、$2\log m\approx n\log n-n$となります。
で、$n\log n-n$の逆関数はランベルトの$W$関数を使うと
$$n\approx {\displaystyle \frac{2\log (m)}{W(2\log (m)/e)}}$$

で、Wikipediaを見るとランベルト関数は$x$が十分大きいときに$W(x)\approx \log x$と書けるらしいです。
なので、
$$n\approx {\displaystyle \frac{2\log (m)}{\log (2\log (m)/e)}}$$

係数が邪魔なので
$$n\approx {\displaystyle \frac{2\log (m)}{\log (\log (m))}}$$
とします。分母が定数オーダーだけずれるだけなので多分問題ないでしょう。

よって、
$$e^n\approx m^{{\displaystyle \frac{2}{\log (\log m)}}}$$

となります。

結局、ABC予想から生成される不等式は

$$m^2\le K\cdot m^{(1+\epsilon )(1+2/\log \log m)}$$

両辺を$m>1$を底とした対数を取ると以下のようになります。

$$2\le (1+\epsilon )(1+{\displaystyle \frac{2}{\log \log m}})+{\log }_m(K)$$

$\epsilon$を十分小さく取った状態で、$m$を十分大きな値に設定すると不等式が崩壊します。
（$m\to \mathrm{\infty }$で右辺$\to 1+\epsilon <2$なので）

つまり、十分大きな値$m$について解がないので、解は有限個であるとわかります。

あとは伝家の宝刀†全探索†をすることによって、解が上記の3つしか無いのでは？というような気分になることができます。

最後に

だれかABC予想を示してください

あと、ガバガバお気持ち数学でごめんなさい