私の考える近傍（近傍に関する考察）

私の考える近傍

$ε$は必ずゼロに飛ばすなら、近傍の内側の点は全て重なる。
重なるなら近傍というのはない。また、集積点を$O$とすると全ての点は$O$に重なる。しかし公理により、大きさのない点を無限個集めると線になる。

もうすでに、この時点で理論がムチャクチャになっている。

もう一つ公理を置かざるを得ないか。
「近傍の異なる内点は重ならない」
内点不等公理？
内点無重複公理？

そもそも公理は証明できないが、公理同士の無矛盾性という概念は、今の数学にはないはずだ。
公理というのは、上手く説明する為に置く、あるいは、どっちでもいいことに対して置くものだからだ。公理同士の無矛盾性など、気にする余裕がない。

多分完全に重なっているのと、完全に重なっている「けど重なっていない」あるいは
「普段は重なっているものとして扱うけど、実は距離があるし、厳密にはズレている」
ということにしかならないな、これは。

波平の一本しか生えていない毛と一緒。
分子が十分小さい有限の自然数、分母が自然数のn/M=q。
異なるnを持つqが等しくなるのはそれぞれのqの分母に、等しいという制約を付けない場合だけ。つまり1/Mが無限に小さいならゼロと見なせるのかどうか、それが問題なんだ。

とにかく、実は人間には、無限大の大きさの違いが理解できないのと同じように無限大分の一がゼロではないことが理解できない。
逆数で考えると、分母$M$の濃度が異なる$1/M$は異ならないとおかしいのに、近傍を考える際に完全に可算無限と非加算無限の違いを忘れている。
だから矛盾してしまう。