位相空間で表せないように思われる殆ど全ての関数が位相で表せることについての説明

位相空間で表せないように思われる殆ど全ての関数が位相で表せることについての説明

原像と入力は同じと見て、xとする。
同様に写像と出力をyとする。
登場する関数は全て
「とりあえず」連続。
狭義単調増加であれば、xから任意の点と線を除いてよい。
今一般的に、y=xのyに当たるx
0123456から0123234と値を取る関数を考える。これは単調増加ではない。
で、xの方は原像。無限個の元を持つ。
この関数をグラフに書いて、原像xを0から6まで増加させた時に通る線を、なぞる。
すると分かることがある。
xが増加している限り、なぞる指かカーソルが後ろに戻ることはない。絶対にバックしないのだ。これが何を意味するか。
yをxに逆像で写し直すと、像zはxと等しく、zはxが増えるに従い必ず増加する。つまり
xが
「前進」すると
zも
「前進」する。
対応するyは減ったり増えたりするが、xは増え続ける。
つまりyも実は
「前進」している。少なくともグラフの線（をなぞる指カーソル）は
「前進」
している。
ここで
「辞書」を用意する。
無限個の入力に対して、デタラメで無秩序な出力（像）が書かれている。入力は十分大きな定義域に対して無限個あるが、
[0, 1)
（0≦x<1）の範囲の入力（定義域）に対しての出力（像）の値が書かれているのは
「1ページ」。これがあるとyが特殊関数でもyが
「前進」しているのが分かる。
だから結論としては、
入力に対しての出力がどんなものでも（つまり、どんな関数でも）位相として扱える。
そもそもユークリッド空間に対しては、同じように考えることで位相が得られる。