1つの無理数と1つの有理数の割り算以外の四則演算から、実数体が構成できることの簡単な証明と、体の構成方法、有理数における互いに素という概念

1つの無理数と1つの有理数の割り算以外の四則演算から、実数体が構成できることの簡単な証明

証明

普通に証明しようとすると無茶苦茶難しいので、簡単な証明を与えます。
大きい方から小さい方の数を引き、その後は全ての数の内一番小さい方から2つ数を選び、大きい方から小さい方の数を引くことを繰り返すと、0ではない無限小が作れます。それらの数を足したり、マイナスを掛けたりすると全ての実数が作れます。
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体の構成方法

有理数における
「互いに素」
という概念を作ります。
有限桁の有理数の小数点か分母を払った自然数同士で互いに素の場合、ユークリッドの互除法EでLCMが1になります。2つの有理数でEと同じ計算をすると、有理数aが出てきます。これがaを法として互いに素という概念です。
aが取れるまで計算を繰り返します。必要があればどちらかに無限小を足します。或いは一つの数と無限小でも、無限小のみでも構成できます。無限小を法とした体です。全体を無限で割ると有理数体です。
aが無限小の場合、集合全体が実数になります。
実数でも同じように構成できます。


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