積分と極限を簡単に入れ替える方法

積分と極限を簡単に入れ替える方法

$0$に収束する関数$y=f(x)$の定義域を
$0\leqq x<1,1\leqq x<2\cdots$に分割する。必要があれば積分区間をもっと広く取る。
それぞれの積分を$a_0,a_1,\cdots$
とすると、これはコーシー列である。従って極限と入れ替えてよく、入れ替えてから改めて積分してよい。