何でもコーシー列になってしまう理論

何でもコーシー列になってしまう理論

10進法かつ有理数で1より小さいコーシー列で考えます。
各桁を項、初項を$a_0=0$として、
一般項は
$A_n=a_n\ast {\frac{1}{10}}^n(n\geqq 1)$となります。
そして、一つのコーシー列の$A_n$の各項を$n$の小さい方から一つずつ足して構成します。
この時に、$a_n$、つまり$A_n$が全て既知のものであれば、この方法でも収束することは明らかです。
従って、仮に$a_n$がランダムに決まるとしても、その値を全て知ることができればこれはコーシー列と言えます。
そんな訳がない？　いやいや、コーシー列の定義からそうなるんだからしょうがない。