一足す一は二でないことの証明（ちゃんとした証明）

$1+1\ne 2$であることの証明

$1+1=2$だと誰もが疑わない。
しかし、
$1+1\ne 2$となる場合が存在する。しかも、大半の場合にそうなる。
証明していこう。

異なる公理系

公理というのは、証明も反証もできないのであれば、自由に置くことができる。

ペアノの公理の代替

ペアノの公理に類似した、
「類似ペアノの公理」を置く。

ペアノの公理

置き方は色々あるが、分かりやすいように
殆どペアノの公理と同値で、"2"と"3"の定義を入れ替えた公理を置く。
今はこれが「類似ペアノの公理」である。
今
$1+1=3$であり、$1+1\ne 2$である。
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応用

計算結果がデタラメしか見えないような公理の置き方をすることで、デタラメが正しいことにできる。
正確には
「正しくなった」
のではなく、
「何の疑問の余地もなく正しい」
と言わなければならないことに、注意が必要である。