自然数の無限回の加算で、無限は作れるか？

自然数の無限回の加算で、無限は作れるか？

以下のような巨大数が考えられる。

巨大数の定義

$0$から$n$$,$$n$から$m,\cdots$このような自然数の集合の列$a_l$$(l$は$0<l$の自然数)
を考える。
$1$を加算するという操作を、$l$に$1$を加える操作だとする。
無限回$1$を加算しても、$a_1,a_2,\cdots ,a_l$の全ての集合の元の個数は有限個である。
また、$a_1,a_2,\cdots ,a_l$の隣り合った区間を結合していった時に、突然区間の長さが無限になるということはあり得ない。
$l$の初期値を$1$とした時、無限回$l$に$1$を加算した時の$a_l$のなかで最大の元を
「河城(かわしろ)にとり数」
とする。
前述の通り、$a_1,a_2,\cdots ,a_l$の隣り合った区間を結合していった時に、突然区間の長さが無限になるということはあり得ない。
従って、河城(かわしろ)にとり数は有限である。

問題点

タイトルの通り。
自然数の無限回の加算で、無限は作れるか？
そもそも作れなかったら選択公理はどうなるの、と思われる向きもあるだろうが、
自然数を加算すると、自然数になる、というのが結論でもおかしくはない。
これは多分
豊姫(とよひめ)の扇から作られる素粒子の数
と、同値の命題を含んでいると思う。
拙作の
「豊姫(とよひめ)の扇から作られる素粒子の数」
を参照のこと。