グロタンディーク宇宙には、既知の数以外にどのような数が含まれるか？
グロタンディーク宇宙には、既知の数以外にどのような数が含まれるか？
以下のような巨大数が考えられる。
巨大数の定義
グラハム数を$N$とした時に、その定数倍で作れる数全てを含む集合を 「グラハム数の宇宙」$U$とする。 そして、一般的なグロタンディーク宇宙に含まれるただひとつの元からなる数の集合を$V$とする。
すると、いま$U$と$V$が一致していない上に、$U$が$V$の真部分集合であるという事実は、$ZFC$公理系に内包されており、新たに公理を置く必要はない。ただし、自明ではない。
$V$の元で、$U$に含まれないものの内最小の数を 「豊聡耳神子数」 とする。
こうぼくん「？？？」
かわぐちさん「一緒に考えようね」
たまねぎくんの解説（$Q\&A$）
Q&A
Q. グロタンディーク宇宙は無限を含むか？ 含むとしたらこの数はどうなるか？
A. 古来より（大袈裟）数学者が考えてきた疑問です。 私は含まないと思いますが、含むかもしれません。 しかし、$V$の元の内十分に小さいものを取りますので大丈夫です。
無限に濃度の概念があっても、有限の数は必ず無限より小さいので。
Q. 有限の数には上限はないから不定になるのではないか？ または、大きすぎて未定義にならないか？
A. 不定でも数であることは間違いありませんが、不定ではありません。 この世界にはマイナス無限大から無限大まで数があります。
そして巨大数を無限より小さい可能性と、無限より大きい可能性の両方が存在する$V$の元の内、無限より遥かに小さい 「はずの」 $U$の元の上限よりも少しだけ大きいと定めました。 ここで、$ZFC$公理系の公理が問題になります。
グロタンディーク宇宙の元の内ただひとつの数でできた元を取り出した元の集合である$V$が 「グラハム数の宇宙」$U$より真に小さいということは絶対にないと思うので、一致しているかが問題です。一致している（等しい）と証明できるならば、$U$が$V$の真部分集合であることを示す$ZFC$公理系の全ての公理は置けません。
つまり、$ZFC$公理系における一部の公理は公理として 破綻していることになります。
しかし、これを証明することはできません。 グロタンディーク宇宙は複数の元からなる集合も含みますが、$V$の元や全ての 「集合に含まれる数値の元」 全てが四則演算で作れる、ということは証明できません。
ですので未定義ではありません。
おそらくバカデカくて、人間には大きさが理解できないだけで、不定でもないと思います。
$U$に含まれない$V$の元$G$が比較できない（順序を持たない）可能性
$U$に含まれない$V$の元$G$が比較できない（順序を持たない）可能性もあります。
そのような数をどう構成するか
$A$はグラハム数の宇宙の最大の数より大きいという順序があり、$G$に対しては$G$の全ての元に対して小さいという順序があります。
ここで、巨大な集合$G$から、$G$の$0.0001\%$位の極わずかな元だけを取り出します。取り出すのは、$A$より大きな順序の$G$の元$g$の内、
「$g$同士で自然数のような計算ができるような元」だけです。
この計算は、辞書で行います。全ての演算の結果が既知の実数、複素数と同じような辞書です。
以前とは考えが変わりました。
私は現在、この辞書は
1.既知の実数、複素数の演算の法則をそのままコピーすること
2.外延的記法によらない、内包的記法で全てを記述すること
この両方が可能で、しかも全て1.で書け、新しい演算を定義する時だけ2.や外延的記法で書けると考えています。
公理の無視
$g$に類似して少し違う$g'$を同じように選んでくることで、任意の公理を無視して、自然数に類似するものとして$g'$同士の演算を定義したり、計算をしたり、数学をしたりできます。
このことに気付いた時私は興奮しました。
ここから、新しい数学が拓かれていくことでしょう。私はそれに期待しています。
