今日の問題(2020年11月10日)解答

今日の問題の解答です。

$ad-bc≠0 $ を満たす正定数$a,b,c,d $ に対して，

$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} $ $(x\geq0) $

とおく．関数$\rho(x,y) $を

$\displaystyle \rho(x,y)=\left|\log\left(\frac{x}{y}\right)\right| (x,y>0) $

で定める．このとき，任意の$x,y>0 $に対して，次の二つの不等式が成り立つことを示せ．

1. $\displaystyle\rho(f(x),f(y))\leq\left|\log\left(\frac{ad}{bc}\right)\right|. $

2. $\displaystyle\rho(f(x),f(y))\leq\left|\frac{\sqrt{ad}-\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}+\sqrt{bc}}\right|\rho(x,y). $

(平成22年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第7問)

【略解】

1. $g(x)=\log f(x)=\log(ax+b)-\log(cx+d)$とおくと

$\displaystyle g'(x)=\frac{a}{ax+b}-\frac{c}{cx+d}$

$\displaystyle =\frac{ad-bc}{(ax+b)(cx+d)}$は定符号だから$g(x) $は単調．　

(1-a)$ad-bc>0$のとき，$\displaystyle\log\frac{b}{d}\leq g(x)\leq\log\frac{a}{c}$だから

$\log(f(x)/f(y))=g(x)-g(y) $は

$\displaystyle \log\frac{b}{d}-\log\frac{a}{c}\leq g(x)-g(y)\leq\log\frac{a}{c}-\log\frac{b}{d} $

(1-b)$ad-bc<0$のとき，$\displaystyle\log\frac{a}{c}\leq g(x)\leq\log\frac{b}{d}$だから

$\displaystyle \log\frac{a}{c}-\log\frac{b}{d}\leq g(x)-g(y)\leq\log\frac{b}{d}-\log\frac{a}{c} $

となるので

$\displaystyle\rho(f(x),f(y))=\left|\log\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)\right|\leq\left|\log\frac{a}{c}-\log\frac{b}{d}\right|=\left|\log\left(\frac{ad}{bc}\right)\right|$

となる．

⑵ (2-a)$ad-bc>0$のとき

$x\geq y$ならば$g(x)\geq g(y)$だから

$\rho(f(x),f(y))=g(x)-g(y)，\rho(x,y)=\log x-\log y $である．

$h(x)=g(x)-k\log x $とおく．($k$は0でない定数)

$\displaystyle h'(x)=\frac{ad-bc}{(ax+b)(cx+d)}-\frac{k}{x}$

$\displaystyle =\frac{(ad-bc)x-k(ax+b)(cx+d)}{x(ax+b)(cx+d)}$

の分子を$x$について平方完成すると

$-kac{x^2}-\{k(ad+bc)-(ad-bc)\}x-kbd $

$\displaystyle=-kac{\left\{x+\frac{k(ad+bc)-(ad-bc)}{2kac}\right\}^2}-kbd+\frac{\{k(ad+bc)-(ad-bc)\}^2}{4kac}$

となるので、もし

$\displaystyle-kbd+\frac{\{k(ad+bc)-(ad-bc)\}^2}{4kac}=0$であれば

$\displaystyle k=\frac{{(\sqrt{ad}\pm\sqrt{bc})}^2}{(\sqrt{ad}+\sqrt{bc})(\sqrt{ad}-\sqrt{bc})}=\frac{\sqrt{ad}\pm\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}\mp\sqrt{bc}}$

である．(複号同順)

そこで$\displaystyle k= \frac{\sqrt{ad}-\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}+\sqrt{bc}}(>0)$とすると

$\displaystyle h'(x)=\frac{1}{x(ax+b)(cx+d)}\left[-kac{\left\{x+\frac{k(ad+bc)-(ad-bc)}{2kac}\right\}}^2\right]\leq 0$

となるので$h(x)$は単調減少．

よって$h(x)\leq h(y)$だから

$\log f(x)-\log f(y)\leq k(\log x-\log y)$ すなわち

$\rho(f(x),f(y))\leq k\rho(x,y)$である．

$x\leq y$ ならば $g(x)\leq g(y)$だから上と同様にして

$\rho(f(x),f(y))=\log f(y)-\log f(x)\leq k(\log y-\log x)=k\rho(x,y)$となることがわかる．

(2-b)$ad-bc<0$のときも(2-a)と同様にして$k<0，h(x)$は単調増加であり

$\rho(f(x),f(y))\leq (-k)\rho(x,y)$が成り立つことが示される．

以上から$\displaystyle\rho(f(x),f(y))\leq\left|\frac{\sqrt{ad}-\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}+\sqrt{bc}}\right|\rho(x,y)$が成り立つことが示された．