今日の問題(2020年11月10日)解答

今日の問題の解答です。

$ad-bc\ne 0$ を満たす正定数$a,b,c,d$ に対して，

${\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}}$ $(x\ge 0)$

とおく．関数$\rho (x,y)$を

${\displaystyle \rho (x,y)=|\log \left(\frac{x}{y}\right)|(x,y>0)}$

で定める．このとき，任意の$x,y>0$に対して，次の二つの不等式が成り立つことを示せ．

1. ${\displaystyle \rho (f(x),f(y))\le |\log \left(\frac{ad}{bc}\right)|.}$

2. ${\displaystyle \rho (f(x),f(y))\le \left|\frac{\sqrt{ad}-\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}+\sqrt{bc}}\right|\rho (x,y).}$

(平成22年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第7問)

【略解】

1. $g(x)=\log f(x)=\log (ax+b)-\log (cx+d)$とおくと

${\displaystyle g^{\prime }(x)=\frac{a}{ax+b}-\frac{c}{cx+d}}$

${\displaystyle =\frac{ad-bc}{(ax+b)(cx+d)}}$は定符号だから$g(x)$は単調．　

(1-a)$ad-bc>0$のとき，${\displaystyle \log \frac{b}{d}\le g(x)\le \log \frac{a}{c}}$だから

$\log (f(x)/f(y))=g(x)-g(y)$は

${\displaystyle \log \frac{b}{d}-\log \frac{a}{c}\le g(x)-g(y)\le \log \frac{a}{c}-\log \frac{b}{d}}$

(1-b)$ad-bc<0$のとき，${\displaystyle \log \frac{a}{c}\le g(x)\le \log \frac{b}{d}}$だから

${\displaystyle \log \frac{a}{c}-\log \frac{b}{d}\le g(x)-g(y)\le \log \frac{b}{d}-\log \frac{a}{c}}$

となるので

${\displaystyle \rho (f(x),f(y))=|\log \left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)|\le |\log \frac{a}{c}-\log \frac{b}{d}|=|\log \left(\frac{ad}{bc}\right)|}$

となる．

⑵ (2-a)$ad-bc>0$のとき

$x\ge y$ならば$g(x)\ge g(y)$だから

$\rho (f(x),f(y))=g(x)-g(y)，\rho (x,y)=\log x-\log y$である．

$h(x)=g(x)-k\log x$とおく．($k$は0でない定数)

${\displaystyle h^{\prime }(x)=\frac{ad-bc}{(ax+b)(cx+d)}-\frac{k}{x}}$

${\displaystyle =\frac{(ad-bc)x-k(ax+b)(cx+d)}{x(ax+b)(cx+d)}}$

の分子を$x$について平方完成すると

$-kac{x}^2-\{k(ad+bc)-(ad-bc)\}x-kbd$

${\displaystyle =-kac{\{x+\frac{k(ad+bc)-(ad-bc)}{2kac}\}}^2-kbd+\frac{\{k(ad+bc)-(ad-bc){\}}^2}{4kac}}$

となるので、もし

${\displaystyle -kbd+\frac{\{k(ad+bc)-(ad-bc){\}}^2}{4kac}=0}$であれば

${\displaystyle k=\frac{{(\sqrt{ad}\pm \sqrt{bc})}^2}{(\sqrt{ad}+\sqrt{bc})(\sqrt{ad}-\sqrt{bc})}=\frac{\sqrt{ad}\pm \sqrt{bc}}{\sqrt{ad}\mp \sqrt{bc}}}$

である．(複号同順)

そこで${\displaystyle k=\frac{\sqrt{ad}-\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}+\sqrt{bc}}(>0)}$とすると

${\displaystyle h^{\prime }(x)=\frac{1}{x(ax+b)(cx+d)}[-kac{\{x+\frac{k(ad+bc)-(ad-bc)}{2kac}\}}^2]\le 0}$

となるので$h(x)$は単調減少．

よって$h(x)\le h(y)$だから

$\log f(x)-\log f(y)\le k(\log x-\log y)$ すなわち

$\rho (f(x),f(y))\le k\rho (x,y)$である．

$x\le y$ ならば $g(x)\le g(y)$だから上と同様にして

$\rho (f(x),f(y))=\log f(y)-\log f(x)\le k(\log y-\log x)=k\rho (x,y)$となることがわかる．

(2-b)$ad-bc<0$のときも(2-a)と同様にして$k<0，h(x)$は単調増加であり

$\rho (f(x),f(y))\le (-k)\rho (x,y)$が成り立つことが示される．

以上から${\displaystyle \rho (f(x),f(y))\le \left|\frac{\sqrt{ad}-\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}+\sqrt{bc}}\right|\rho (x,y)}$が成り立つことが示された．