積分解説12

2020/08/31に$\tau \rho \iota \alpha$さんが巨大なリプツリーの中に投下した積分です。
https://twitter.com/tria_math/status/1300420025711382528?s=21

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^1{x}^2{\psi }^{\prime }(x)dx\\ & =& {[x^2\psi (x)]}_0^1-2{\int }_0^{1}x\psi (x)dx\\ & =& -\gamma -2{[x\log \mathrm{\Gamma }(x)]}_0^1+2{\int }_0^1\log \mathrm{\Gamma }(x)dx\\ & =& \log 2\pi -\gamma \end{array}$

よって、この問題の解答は${\displaystyle \log 2\pi -\gamma }$となります。

最後の${\displaystyle {\int }_0^1\log \mathrm{\Gamma }(x)dx}$は区分求積法で求めることができます。