積分解説12

2020/08/31に$\tau\rho\iota\alpha$さんが巨大なリプツリーの中に投下した積分です。
https://twitter.com/tria_math/status/1300420025711382528?s=21

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^1x^2\psi'(x)dx\\ &=&\left[x^2\psi(x) \right]_0^1-2\int_0^1x\psi(x)dx\\ &=&-\gamma-2\left[x\log\Gamma(x) \right]_0^1+2\int_0^1 \log\Gamma(x)dx\\ &=&\log2\pi-\gamma \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle \log2\pi-\gamma$となります。

最後の$\d\int_0^1 \log\Gamma(x)dx $は区分求積法で求めることができます。