<div 
style="padding: 0.5em 1em;
		 margin: 2em 0; 
		 background: white; 
		 border-top: solid 5px #DF99FF; 
		 box-shadow: 0 3px 5px rgba(0, 0, 0, 0.22)">
$$
\int_0^{\infty} \frac{\sin x - x}{x^2 e^x} dx~=~?
$$
</div>

<div 
style="position: relative; 
		margin: 2em auto; 
		padding: 1.2em; 
		width: 90%; 
		color: ; 
		background-color: #F5F8FA; 
		border: 5px solid #DF99FF">
	<span 
	style="font-weight: bold; 
			font-size: 1.2rem; 
			position: absolute; 
			padding: 0 .5em; 
			left: 20px; 
			top: -15px; 
			color: #999999; 
			background-color: #F5F8FA">解説</span>
	$$\begin{align*}
	&\int_0^{\infty} \frac{\sin x - x}{x^2 e^x} dx \\
	&= \int_0^{\infty} \frac{1}{x^2 e^x} \int_0^1 \frac{d}{dt} (\sin xt - xt ) dt dx \\
	&= \int_0^{\infty} \int_0^1 \frac{\cos xt - 1}{x e^x}dt dx\\
	&= \int_0^{1} \int_0^{\infty} \frac{1}{xe^x} \int_0^t \frac{d}{du} \cos xu du dx dt\\
	&= -\int_0^1 \int_0^{\infty} \int_0^t e^{-x}\sin xu du dx dt\\
	&= -\int_0^1 \int_0^t \int_0^{\infty} e^{-x}\sin xu dx du dt\\
	&= -\int_0^1 \int_0^t \frac{u}{1+u^2} du dt&(部分積分)\\
	&= -\frac12 \int_0^1 \int_0^t \frac{(1+u^2)'}{1+u^2} du dt\\
	&= -\frac12 \int_0^1 \ln (1+t^2) dt \\
	&= -\frac12 \Biggr[ t\ln(1+t^2) \Biggl]_0^1 + \frac12 \int_0^1 \frac{t}{1+t^2}\cdot 2t dt\\
	&= -\frac{\ln 2}{2} + \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+t^2}\right) dt\\
	&= -\frac{\ln 2}{2} + 1 - \Biggr[ \arctan t\Biggl]_0^1\\
	&= 1 - \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2}
\end{align*}$$
</div>


積分の技法演習問題4の解説

この記事を高評価した人

この記事に送られたバッジ

投稿者

コメント

他の人のコメント