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不偏分散が不偏推定量であることの説明

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概要

標本分散は,偏差の平方和を標本数nで割った値です.一方,不偏分散は,偏差の平方和をn1で割った値です.この記事では,不偏分散が母分散の不偏推定量であることを証明します.

標本平均と標本分散の定義と性質

標本X1,X2,,Xnの標本平均XX=1ni=1nXiで定義されます.またf(X)と書いてf(X1),f(X2),,f(Xn)の平均1ni=1nf(Xi)を表し,特にX21ni=1nXi2のことです.

X1,X2,,Xnの標本分散S2S2=1ni=1n(XiX)2で定義されます.このとき次の定理が成り立ちます.

S2=X2(X)2が成り立つ.

S2=1ni=1n(XiX)2=1ni=1n(Xi22XiX+(X)2)=1ni=1nXi21n2Xi=1nXi+1nn(X)2=X22(X)2+(X)2=(RHS)

一方,X1,X2,,Xnの不偏分散s2s2=1n1i=1n(XiX)2で定義されます.すなわちs2=nn1S2です.

期待値と分散に関する公式

期待値と分散の定義と性質は, この記事 に詳しく書かれています.このうち,今回特に重要なのがV[X]=E[X2]E[X]2という式です.これは変形するとE[X2]=V[X]+E[X]2となり,X2の期待値を求めるのに使えます.

不偏分散の不偏性

n個の確率変数X1,X2,,Xnについて,次のような仮定をおきます.

  • 期待値が全て等しい:E[Xi]=μ(i, 1in)
  • 分散が全て等しい:V[Xi]=σ2(i, 1in)
  • どの異なる2つも無相関:Cov(Xi,Xj)=0((i,j), 1i<jn)

このとき,Xの期待値と分散は次のように計算できます.
E[X]=E[1ni=1nXi]=1ni=1nE[Xi]=1nnμ=μ. V[X]=V[1ni=1nXi]=1n2V[i=1nXi]=1n2i=1nV[Xi]=1n2nσ2=σ2n.
よって,(X)2の期待値E[(X)2]E[(X)2]=V[X]+E[X]2=σ2n+μ2となります.

一方,i=1,2,,nについてXi2の期待値はE[Xi2]=V[Xi]+E[Xi]2=σ2+μ2なので,X2の期待値E[X2]E[X2]=E[1ni=1nXi2]=1ni=1nE[Xi2]=1nn(σ2+μ2)=σ2+μ2となります.

これらを用いると,次の定理が得られます:

不偏分散の不偏性

X1,X2,,Xnの不偏分散s2について,E[s2]=σ2が成り立つ.

s2=nn1S2=nn1(X2(X)2)であるから,E[s2]=nn1(E[X2]E[(X)2])=nn1(σ2+μ2(σ2n+μ2))=nn1(11n)σ2=σ2

以上より,不偏分散が不偏推定量であることが証明できました.

投稿日:20201110
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中学 n 年生 (n > 3) です.主にプログラミング方面をやっていますが数学にも興味があります

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