Cauchy−Schwarzの不等式をベクトルを使って証明

初めまして。トリリトンと申します。
ここではCauchy−Schwarzの不等式の証明を書こうと思います。

[証明]
まず$ \overrightarrow{u} $と$ \overrightarrow{v} $を考えます。−1$ \leq $$ \cos $$ \theta $$ \leq $1なので
−|$ \overrightarrow{u}$| |$ \overrightarrow{v}$| $\leq$ $\overrightarrow{u}$$\overrightarrow{v}$$ \leq $|$\overrightarrow{u}$| |$ \overrightarrow{v} $|
これは |$\overrightarrow{u}$$\overrightarrow{v}$| $\leq$|$\overrightarrow{u}$| |$\overrightarrow{v}$| と同値です。
ここで絶対値を外すために2乗します。
（$ \overrightarrow{u} $$ \overrightarrow{v} $）$^{2} $$\leq$|$\overrightarrow{u}$|$^2 $ |$\overrightarrow{v}$|$ ^2$・・・①
ここで$\overrightarrow{u}$=$\binom{a}{b} $ $ \overrightarrow{v} $=$\binom{x}{y} $ とおきます。これを①に代入して、
（$ax+by）$$^2 $ $\leq（$$a^2$+$b^2$）（$x^2$+$y^2$）
となって求めたい不等式ができましたね。

今回はここまでです。絶対値の同値変形が少し難しかったかな？ではまた。