Cauchy−Schwarzの不等式をベクトルを使って証明

初めまして。トリリトンと申します。
ここではCauchy−Schwarzの不等式の証明を書こうと思います。

[証明]
まず$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を考えます。−1$\le$$\cos$$\theta$$\le$1なので
−|$\overrightarrow{u}$| |$\overrightarrow{v}$| $\le$ $\overrightarrow{u}$$\overrightarrow{v}$$\le$|$\overrightarrow{u}$| |$\overrightarrow{v}$|
これは |$\overrightarrow{u}$$\overrightarrow{v}$| $\le$|$\overrightarrow{u}$| |$\overrightarrow{v}$| と同値です。
ここで絶対値を外すために2乗します。
（$\overrightarrow{u}$$\overrightarrow{v}$）${}^2$$\le$|$\overrightarrow{u}$|${}^2$ |$\overrightarrow{v}$|${}^2$・・・①
ここで$\overrightarrow{u}$=$(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})$ $\overrightarrow{v}$=$(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y})$ とおきます。これを①に代入して、
（$ax+by）$${}^2$ $\le （$$a^2$+$b^2$）（$x^2$+$y^2$）
となって求めたい不等式ができましたね。

今回はここまでです。絶対値の同値変形が少し難しかったかな？ではまた。