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カイ 2 乗分布の確率密度関数の導出

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$$\newcommand{dd}[0]{\mathrm{d}} \newcommand{pr}[1]{P\left(#1\right)} $$

自由度$1$$\chi^2$分布

$X$を確率変数とすると,$X^2$も確率変数である.それぞれの確率密度関数を$f_X$$f_{X^2}$とすると,定数$a$$a > 0$)について$$\pr{0 \leq X^2 \leq a^2} = \pr{-a \leq X \leq a}$$ $$\therefore \int_0^{a^2} f_{X^2}(x) \dd x = \int_{-a}^a f_X(x)\dd x$$が成り立つ.両辺を$a$で微分して$$(a^2)'f_{X^2}\left(a^2\right) = (a)'f_X(a) - (-a)'f_X(-a)$$ $$\therefore 2af_{X^2}\left(a^2\right) = f_X(a) + f_X(-a).$$

ここで,$X$が標準正規分布$\mathrm{N}(0, 1)$に従うとき$$f_X(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)$$であるから,$x>0$の範囲における$X^2$の確率密度関数は$$\begin{align} f_{X^2}(x) &= \frac1{2\sqrt x}\left(f_X\left(\sqrt x\right) + f_X\left(-\sqrt x\right)\right) \\ &= \frac1{2\sqrt x}\cdot\frac1{\sqrt{2\pi}}\left(\exp\left(-\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2}{2}\right)+\exp\left(-\frac{\left(-\sqrt{x}\right)^2}{2}\right)\right) \\ &= \frac1{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac1{\sqrt{x}}\exp\left(-\frac{x}{2}\right). \end{align}$$

これは後述する$\chi^2$分布の,自由度$1$の場合である.つまり,$X$が標準正規分布$\mathrm{N}(0, 1)$に従うとき,$X^2$は自由度$1$$\chi^2$分布$\chi^2(1)$に従う.

$\varGamma$関数と$B$関数

$\varGamma$関数は実数$\alpha$$\alpha>0$)に対し次の式で定義される関数である.$$\varGamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}\dd x.$$

$\alpha=1$を代入すると$$\varGamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} \dd x = \left[-e^{-x}\right]_0^\infty = 1.$$

$\alpha=2$を代入すると$$\begin{align} \varGamma(2) &= \int_0^\infty x e^{-x} \dd x \\ &= \left[ -x e^{-x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x} \dd x \\ &= 0 + \varGamma(1) \\ &= 1. \end{align}$$

$\alpha=2$の場合から推測される通り,$\alpha$$2$以上の自然数のときの$\varGamma(\alpha)$の値は部分積分によって求めることができる.実際に$\alpha=n$を代入してみると$$\begin{align} \varGamma(n) &= \int_0^\infty x^{n - 1}e^{-x} \dd x \\ &= \left[ - x^{n - 1} e^{-x} \right]_0^\infty + (n - 1) \int_0^\infty x^{n - 2}e^{-x} \dd x \\ &= (n - 1) \varGamma(n - 1) \end{align}$$という式が得られる.これは$\varGamma$関数と階乗の間に$$\varGamma(n) = (n - 1)!$$という関係が成り立つ,すなわち$\varGamma$関数が階乗の一般化であることを表している.

また,$B$ベータ関数は,実数$\alpha$$\beta$$\alpha > 0$$\beta > 0$)に対し次の式で定義される関数である.$$B(\alpha, \beta) = \int_0^1 x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1} \dd x$$

$\varGamma$関数と$B$関数の関係

$\varGamma(\alpha)$の定義式において$x = t^2$という置換を行う.$\displaystyle \frac{\dd x}{\dd t} = 2t$であり,$t$$0$から$\infty$まで動くから$$\begin{align} \int_0^\infty x^{\alpha - 1}e^{-x} \dd x &= \int_0^\infty t^{2(\alpha - 1)} e^{-t^2} \cdot 2 t \dd t \\ &= 2 \int_0^\infty t^{2\alpha - 1}e^{-t^2} \dd t. \end{align}$$

また,$B(\alpha, \beta)$の定義式において$x = \sin^2\theta$という置換を行う.$\displaystyle \frac{\dd x}{\dd \theta} = 2\sin\theta\cos\theta$であり,$\theta$$0$から$\frac{\pi}{2}$まで動くから$$\begin{align}\int_0^1 x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1} \dd x &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2(\alpha-1)}\theta\cos^{2(\beta-1)}\theta\cdot2\sin\theta\cos\theta\dd\theta \\ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2\alpha-1}\theta\cos^{2\beta-1}\theta\dd\theta. \end{align}$$

これら2つの置換積分を用いて,2つの$\varGamma$関数の積を考える.$$\begin{align} \varGamma(\alpha)\varGamma(\beta) &= 4\left(\int_0^\infty s^{2\alpha - 1}e^{-s^2}\dd s\right)\cdot\left(\int_0^\infty t^{2\beta - 1}e^{-t^2}\dd t\right)\\ &= 4\int_0^\infty\! \int_0^\infty e^{-(s^2+t^2)}s^{2\alpha-1}t^{2\beta-1}\dd s\dd t. \quad \cdots (*) \end{align}$$

ここで$s = r\cos\theta$$t = r\sin\theta$という置換を行う.$\displaystyle \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = r$であり,$r$$0$から$\infty$まで,$\theta$$0$から$\frac{\pi}{2}$まで動くから$$\begin{align} (*) &= 4\int_0^\frac{\pi}{2}\!\int_0^\infty e^{-r^2}(r\cos\theta)^{2\alpha-1}(r\sin\theta)^{2\beta-1}\cdot r\dd r \dd \theta \\ &= 4 \int_0^\infty r^{2\alpha + 2\beta - 1}e^{-r^2}\dd r \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2\alpha - 1}\theta \sin^{2\beta - 1}\theta \dd \theta. \end{align}$$

これはよく見ると$$\varGamma(\alpha+\beta) = 2\int_0^\infty r^{2(\alpha + \beta) - 1}e^{-r^2} \dd r$$$$B(\alpha, \beta)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2\alpha - 1}\theta\cos^{2\beta - 1}\theta\dd\theta$$の積である.これより,$\varGamma$関数と$B$関数の関係式$$B(\alpha, \beta) = \frac{\varGamma(\alpha)\varGamma(\beta)}{\varGamma(\alpha + \beta)}$$が得られた.

また,ここで登場した$\varGamma$関数の置換積分を用いると,$\varGamma\left(\frac12\right)$の値を求めることができる.$$\begin{align} \varGamma\left(\frac12\right) &= 2\int_0^\infty t^{2 \cdot \frac12 - 1} e^{-t^2} \dd t \\ &= 2\int_0^\infty e^{-t^2} \dd t \\ &= 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ &= \sqrt{\pi}. \end{align}$$

ただしガウスの公式$\displaystyle \int_0^\infty e^{-t^2}\dd t = \frac12 \int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \dd t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$を用いた.

$\chi^2$分布

独立な確率変数$Z_1, Z_2, Z_3, \ldots$が全て標準正規分布$\mathrm{N}(0, 1)$に従うとする.このとき,$\displaystyle T_n = \sum_{k = 1}^n Z_k^2$が従う分布を自由度$n$$\chi^2$分布といい,$\chi^2(n)$と書く.

$T_n$の確率密度関数$f_n(x)$は,$x > 0$において次のように表される.$$f_n(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\varGamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2} - 1}\exp\left(-\frac{x}{2}\right)$$

$x \leq 0$のときは$f_n(x) = 0$である.

このことは数学的帰納法によって証明できる.

$n = 1$のときは$T_1 = Z_1^2$であるから,冒頭で示した通り$x>0$において$$\begin{align} f_1(x) &= \frac1{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac1{\sqrt{x}} \exp\left(-\frac{x}{2}\right) \\ &= \frac1{2^{\frac12}\varGamma\left(\frac12\right)} x^{-\frac12} \exp\left(-\frac{x}{2}\right) \end{align}$$となり成り立っている.

$n = k$のときに成り立っていると仮定すると,$T_{k + 1} = T_k + Z_{k + 1}^2$の確率密度関数は,$x > 0$において$$\begin{align} f_{k + 1}(x) &= \int_0^x \left( \frac1{2^{\frac{k}{2}}\varGamma\left(\frac{k}{2}\right)}t^{\frac{k}2 - 1} \exp\left(-\frac{t}{2}\right) \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - t}} \exp\left(-\frac{x - t}{2}\right) \right) \dd t \\ &= \frac1{2^{\frac{k}{2}}\varGamma\left(\frac{k}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \exp\left(-\frac{x}{2}\right) \int_0^x t^{\frac{k}{2} - 1} \cdot \frac1{\sqrt{x - t}} \dd t \\ &= \frac1{2^{\frac{k + 1}{2}}\varGamma\left(\frac{k}{2}\right)\varGamma\left(\frac{1}{2}\right)} \exp\left(-\frac{x}{2}\right) \int_0^x t^{\frac{k}{2} - 1} (x - t)^{-\frac12} \dd t. \end{align}$$

積分の部分は,$t = xu$とおくと$\displaystyle \frac{\dd t}{\dd u} = x$より$$\begin{align} \int_0^x t^{\frac{k}{2} - 1}(x - t)^{-\frac12} \dd t &= \int_0^1 (xu)^{\frac{k}{2} - 1}\left(x(1-u)\right)^{-\frac12}\cdot x\dd u \\ &= x^{\frac{k - 1}2}\int_0^1 u^{\frac{k}{2} - 1}(1 - u)^{-\frac12}\dd u \\ &= x^{\frac{k - 1}{2}}B\left(\frac{k}{2}, \frac12\right) \end{align}$$と変形できるから,$$\begin{align} f_{k + 1}(x) &= \frac1{2^{\frac{k + 1}2}\varGamma\left(\frac{k}2\right)\varGamma\left(\frac12\right)} \exp\left(-\frac{x}{2}\right) \cdot x^{\frac{k - 1}{2}} B\left(\frac{k}2, \frac12\right) \\ &= \frac{B\left(\frac{k}2, \frac12\right)}{2^{\frac{k + 1}2}\varGamma\left(\frac{k}2\right)\varGamma\left(\frac12\right)} x^{\frac{k - 1}{2}}\exp\left(-\frac{x}{2}\right) \\ &= \frac1{2^{\frac{k + 1}2}\varGamma\left(\frac{k + 1}2\right)} x^{\frac{k + 1}{2} - 1}\exp\left(-\frac{x}{2}\right) \end{align}$$となり,$n = k + 1$のときも成り立っている.よって数学的帰納法により示された.

投稿日:20201110

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とが
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中学 n 年生 (n > 3) です.主にプログラミング方面をやっていますが数学にも興味があります

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