カイ 2 乗分布の確率密度関数の導出

自由度$1$の${\chi }^2$分布

$X$を確率変数とすると，$X^2$も確率変数である．それぞれの確率密度関数を$f_X$，$f_{X^2}$とすると，定数$a$（$a>0$）について$$P(0\le X^2\le a^2)=P(-a\le X\le a)$$ $$\therefore {\int }_0^{a^2}{f}_{X^2}(x)\mathrm{d}x={\int }_{-a}^a{f}_X(x)\mathrm{d}x$$が成り立つ．両辺を$a$で微分して$$(a^2{)}^{\prime }{f}_{X^2}\left(a^2\right)=(a{)}^{\prime }{f}_X(a)-(-a{)}^{\prime }{f}_X(-a)$$ $$\therefore 2a{f}_{X^2}\left(a^2\right)=f_X(a)+f_X(-a).$$

ここで，$X$が標準正規分布$\mathrm{N}(0,1)$に従うとき$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{x^2}{2})$$であるから，$x>0$の範囲における$X^2$の確率密度関数は$$\begin{array}{rl}{f}_{X^2}(x)& =\frac{1}{2\sqrt{x}}(f_X\left(\sqrt{x}\right)+f_X(-\sqrt{x}))\\ & =\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}(\exp (-\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2}{2})+\exp (-\frac{{(-\sqrt{x})}^2}{2}))\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\exp (-\frac{x}{2}).\end{array}$$

これは後述する${\chi }^2$分布の，自由度$1$の場合である．つまり，$X$が標準正規分布$\mathrm{N}(0,1)$に従うとき，$X^2$は自由度$1$の${\chi }^2$分布${\chi }^2(1)$に従う．

$\Gamma$関数と$B$関数

$\Gamma$関数は実数$\alpha$（$\alpha >0$）に対し次の式で定義される関数である．$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x.$$

$\alpha =1$を代入すると$$\Gamma (1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x={[-e^{-x}]}_0^{\mathrm{\infty }}=1.$$

$\alpha =2$を代入すると$$\begin{array}{rl}\Gamma (2)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ & ={[-x{e}^{-x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ & =0+\Gamma (1)\\ & =1.\end{array}$$

$\alpha =2$の場合から推測される通り，$\alpha$が$2$以上の自然数のときの$\Gamma (\alpha )$の値は部分積分によって求めることができる．実際に$\alpha =n$を代入してみると$$\begin{array}{rl}\Gamma (n)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ & ={[-x^{n-1}{e}^{-x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+(n-1){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-2}{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ & =(n-1)\Gamma (n-1)\end{array}$$という式が得られる．これは$\Gamma$関数と階乗の間に$$\Gamma (n)=(n-1)!$$という関係が成り立つ，すなわち$\Gamma$関数が階乗の一般化であることを表している．

また，$B$ベータ関数は，実数$\alpha$，$\beta$（$\alpha >0$，$\beta >0$）に対し次の式で定義される関数である．$$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\mathrm{d}x$$

$\Gamma$関数と$B$関数の関係

$\Gamma (\alpha )$の定義式において$x=t^2$という置換を行う．${\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t}$であり，$t$は$0$から$\mathrm{\infty }$まで動くから$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{2(\alpha -1)}{e}^{-t^2}\cdot 2t\mathrm{d}t\\ & =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{2\alpha -1}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t.\end{array}$$

また，$B(\alpha ,\beta )$の定義式において$x={\sin }^2\theta$という置換を行う．${\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta }=2\sin \theta \cos \theta }$であり，$\theta$は$0$から$\frac{\pi }{2}$まで動くから$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\mathrm{d}x& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2(\alpha -1)}\theta {\cos }^{2(\beta -1)}\theta \cdot 2\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta \\ & =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2\alpha -1}\theta {\cos }^{2\beta -1}\theta \mathrm{d}\theta .\end{array}$$

これら2つの置換積分を用いて，2つの$\Gamma$関数の積を考える．$$\begin{array}{rl}\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )& =4\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{s}^{2\alpha -1}{e}^{-s^2}\mathrm{d}s\right)\cdot \left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{2\beta -1}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\right)\\ & =4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(s^2+t^2)}{s}^{2\alpha -1}{t}^{2\beta -1}\mathrm{d}s\mathrm{d}t.\cdots (\ast )\end{array}$$

ここで$s=r\cos \theta$，$t=r\sin \theta$という置換を行う．${\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=r}$であり，$r$は$0$から$\mathrm{\infty }$まで，$\theta$は$0$から$\frac{\pi }{2}$まで動くから$$\begin{array}{rl}(\ast )& =4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}(r\cos \theta {)}^{2\alpha -1}(r\sin \theta {)}^{2\beta -1}\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ & =4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^{2\alpha +2\beta -1}{e}^{-r^2}\mathrm{d}r{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2\alpha -1}\theta {\sin }^{2\beta -1}\theta \mathrm{d}\theta .\end{array}$$

これはよく見ると$$\Gamma (\alpha +\beta )=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^{2(\alpha +\beta )-1}{e}^{-r^2}\mathrm{d}r$$と$$B(\alpha ,\beta )=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2\alpha -1}\theta {\cos }^{2\beta -1}\theta \mathrm{d}\theta$$の積である．これより，$\Gamma$関数と$B$関数の関係式$$B(\alpha ,\beta )=\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}$$が得られた．

また，ここで登場した$\Gamma$関数の置換積分を用いると，$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)$の値を求めることができる．$$\begin{array}{rl}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)& =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{2\cdot \frac{1}{2}-1}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\\ & =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\\ & =2\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}\\ & =\sqrt{\pi }.\end{array}$$

ただしガウスの公式${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$を用いた．

${\chi }^2$分布

独立な確率変数$Z_1,Z_2,Z_3,\dots$が全て標準正規分布$\mathrm{N}(0,1)$に従うとする．このとき，${\displaystyle T_n=\sum _{k=1}^n{Z}_k^2}$が従う分布を自由度$n$の${\chi }^2$分布といい，${\chi }^2(n)$と書く．

$T_n$の確率密度関数$f_n(x)$は，$x>0$において次のように表される．$$f_n(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}\exp (-\frac{x}{2})$$

$x\le 0$のときは$f_n(x)=0$である．

このことは数学的帰納法によって証明できる．

$n=1$のときは$T_1=Z_1^2$であるから，冒頭で示した通り$x>0$において$$\begin{array}{rl}{f}_1(x)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\exp (-\frac{x}{2})\\ & =\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}{x}^{-\frac{1}{2}}\exp (-\frac{x}{2})\end{array}$$となり成り立っている．

$n=k$のときに成り立っていると仮定すると，$T_{k+1}=T_k+Z_{k+1}^2$の確率密度関数は，$x>0$において$$\begin{array}{rl}{f}_{k+1}(x)& ={\int }_0^x(\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)}{t}^{\frac{k}{2}-1}\exp (-\frac{t}{2}))\cdot (\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{x-t}}\exp (-\frac{x-t}{2}))\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \exp (-\frac{x}{2}){\int }_0^x{t}^{\frac{k}{2}-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{x-t}}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}\exp (-\frac{x}{2}){\int }_0^x{t}^{\frac{k}{2}-1}(x-t{)}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t.\end{array}$$

積分の部分は，$t=xu$とおくと${\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=x}$より$$\begin{array}{rl}{\int }_0^x{t}^{\frac{k}{2}-1}(x-t{)}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t& ={\int }_0^1(xu{)}^{\frac{k}{2}-1}{(x(1-u))}^{-\frac{1}{2}}\cdot x\mathrm{d}u\\ & =x^{\frac{k-1}{2}}{\int }_0^1{u}^{\frac{k}{2}-1}(1-u{)}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}u\\ & =x^{\frac{k-1}{2}}B(\frac{k}{2},\frac{1}{2})\end{array}$$と変形できるから，$$\begin{array}{rl}{f}_{k+1}(x)& =\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}\exp (-\frac{x}{2})\cdot x^{\frac{k-1}{2}}B(\frac{k}{2},\frac{1}{2})\\ & =\frac{B(\frac{k}{2},\frac{1}{2})}{2^{\frac{k+1}{2}}\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}{x}^{\frac{k-1}{2}}\exp (-\frac{x}{2})\\ & =\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{x}^{\frac{k+1}{2}-1}\exp (-\frac{x}{2})\end{array}$$となり，$n=k+1$のときも成り立っている．よって数学的帰納法により示された．