奈良素敵大学模試(自作模試)大問3〜解説〜

問題

座標空間に異なる3点 $A (a, b, c), B (b, c, a), C (c, a, b)$ をとり原点を $O$ とする。三角錐 $O$ - $A B C$ の体積は $9$ であり、 $a, b, c$ はすべて正であるとする。
(1) $a + b + c = 6$ かつ $a, b, c$ が実数のとき、 $a b c$ の最大値を求めよ。また、 $a - b$ の最大値を求めよ。
(2) $a \leq b \leq c$ かつ $a, b, c$ が自然数のとき、 $a, b, c$ の値の組 $(a, b, c)$ をすべて求めよ。

まだ解いていない方はこちらから記事へ飛べます。答えを見たくない場合はどうぞ。

作問の意図

実を言うと、大した考えは特に無いです(？？？)
なんとなく $(a, b, c), (b, c, a), (c, a, b)$ の3点を取ったらたまたま体積が有名な因数分解の式 $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ になったのでそれを使う問題に仕上げました。
(1)は三次方程式の解と係数の関係から最大最小を求める典型パターンです。
(2)は取り組みやすい整数問題です。
個人的には基礎、標準を確認できる問題だなーと思ってます。
では早速解説へ移りましょう。

解説

(1)まず、 $A B = B C = C A = \sqrt{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}$ より、三角形 $A B C$ は正三角形である。
$O$ から三角形 $A B C$ がのる平面 $α$ へ下ろした垂線の足を $H$ とし、
$\vec{O H} = s \vec{O A} + t \vec{O B} + u \vec{O C}, s + t + u = 1$ とおく。
$\vec{O H} \cdot \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow (s a + t b + u c) (b - a) + (u a + s b + t c) (c - b) + (t a + u b + s c) (a - c) = 0$
$\Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) s = (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) t$
$\Leftrightarrow s = t$
なぜなら $A, B, C$ は相異なるので $\neg (a = b \land b = c \land c = a) \Leftrightarrow ((a - b)^{2} \neq 0 \lor (b - c)^{2} \neq 0 \lor (c - a)^{2} \neq 0)$
したがって
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} ((a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}) > 0$ となるからである。
同様にして $s = t = u$ なので、 $H$ は三角形 $A B C$ の重心 $G$ と一致する。
三角錐の $O$ - $A B C$ の体積 $V$ は、三角形 $A B C$ の面積を $S$ として、
$V = \frac{1}{3} S | \vec{O G} | = \frac{\sqrt{3}}{12} | \vec{A B} |^{2} | \vec{O G} | = \frac{1}{6} (a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c) = \frac{1}{6} (a + b + c) ((a + b + c)^{2} - 3 (a b + b c + c a))$
題意より $V = 9, a + b + c = 6$ なので、 $a + b + c = 6, a b + b c + c a = 9$
ここで $a b c = k$ とおき、 $k$ の最大値を求める。
解と係数の関係より、 $a, b, c$ は $x$ の三次方程式 $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - k = 0$ の正の3実数解である。
ただし $a, b, c$ のいずれか2つが重解になっていても良い。(3重解はNG)
$y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ とおき、 $y = k$ との交点の数をグラフを描いて考えることにより、 $0 < k \leq 4$ である。
$k = 4$ のとき、 $(a, b, c)$ は $1, 1, 4$ の巡回になるから、 $k$ の最大値は確かに4として良い。
また、 $(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 a b = (c - 6)^{2} - 4 (9 - b c - c a) = (c - 6)^{2} + 4 c (6 - c) - 36 = 12 c - 3 c^{2} = 12 - 3 (c - 2)^{2}$
であるから $a - b$ の最大値は $c = 2$ のとき $2 \sqrt{3}$ になりそうだが、
実際 $(a, b, c) = (3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}, 2)$ のときにそうなるのでこれで良い。

(2)(1)より、 $(a + b + c) ((a + b + c)^{2} - 3 (a b + b c + c a)) = 54$ を解けば良い。
$a, b, c$ は $a = b = c$ とならない自然数であるから、 $a + b + c > 3, a b + b c + c a > 4$
また、 $a + b + c$ に54の素因数3をすべて振り分けると $a b + b c + c a$ が自然数にならないので、場合分けは以下の3つである。
(i)
${\begin{cases} a + b + c = 6 \\ a b + b c + c a = 9 \end{cases}$ のとき、 $c$ を消去して、 $a^{2} + (b - 6) a + (b - 3)^{2} = 0$
これを $a$ の二次方程式と見て判別式より、 $D = (b - 6)^{2} - 4 (b - 3)^{2} \geq 0$
$3 b^{2} - 12 b \leq 0$ だから $b = 1, 2, 3, 4$ を調べれば良い。適するのは $a = 1$ のみである。
(ii)
${\begin{cases} a + b + c = 9 \\ a b + b c + c a = 25 \end{cases}$ のとき、 $c$ を消去して、 $a^{2} + (b - 9) a + b^{2} - 9 b + 25 = 0$
これを $a$ の二次方程式と見て判別式より、 $D = (b - 9)^{2} - 4 (b^{2} - 9 b + 25) \geq 0$
$3 b^{2} - 18 b + 19 \leq 0$ だから $b = 2, 3, 4$ を調べれば良い。この場合すべて不適である。
(iii)
${\begin{cases} a + b + c = 18 \\ a b + b c + c a = 107 \end{cases}$ のとき、 $c$ を消去して、 $a^{2} + (b - 18) a + b^{2} - 18 b + 107 = 0$
これを $a$ の二次方程式と見て判別式より、 $D = (b - 18)^{2} - 4 (b^{2} - 18 b + 107) \geq 0$
$3 b^{2} - 38 b + 104 \leq 0$ だから $b = 5, 6, 7$ を調べれば良い。適するのは $b = 6$ のみである。