フーリエ変換しても変わらない関数

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$\frac{1}{\cosh π x}$ はフーリエ変換しても変わりません。

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{- 2 π i x y}}{\cosh π x} d x = \frac{1}{\cosh π y}$

(証明)
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{- 2 π i x y}}{\cosh π x} d x = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\cos 2 π x y}{\cosh π x} d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh 2 i x y}{\cosh x} d x$

ここで、補題として $\int_{0}^{\infty} \frac{\cosh z x}{\cosh x} d x = \frac{π}{2} \sec \frac{π}{2} z$ を示します。

(補題の証明)
$\int_{0}^{\infty} \frac{\cosh z x}{\cosh x} d x = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{z x}}{\cosh x} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{z}}{\frac{1}{2} (x + \frac{1}{x})} \frac{d x}{x} = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{z}}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\frac{z - 1}{2}}}{x + 1} d x$

ここで、
$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{a - 1}}{(1 + x)^{a + b}} d x = \int_{0}^{1} \frac{{(\frac{t}{1 - t})}^{a - 1}}{{(1 + \frac{t}{1 - t})}^{a + b}} \frac{d t}{(1 - t)^{2}} = \int_{0}^{1} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t = \frac{Γ (a) Γ (b)}{Γ (a + b)}$
であるので、
$\int_{0}^{\infty} \frac{\cosh z x}{\cosh x} d x = \frac{1}{2} \frac{Γ (\frac{1 + z}{2}) Γ (\frac{1 - z}{2})}{Γ (1)} = \frac{π}{2} \sec \frac{π}{2} z$
これで補題が成り立つことがわかりました。

補題より、
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{- 2 π i x y}}{\cosh π x} d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh 2 i x y}{\cosh x} d x = \sec (i π y) = \frac{1}{\cosh π y}$
Q.E.Dです。