フーリエ変換しても変わらない関数

$\displaystyle\frac{1}{\cosh\pi x}$はフーリエ変換しても変わりません。

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-2\pi ixy}}{\cosh \pi x}dx=\frac{1}{\cosh\pi y}$

(証明)
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-2\pi ixy}}{\cosh\pi x}dx \\\displaystyle=2\int_{0}^\infty\frac{\cos2\pi xy}{\cosh\pi x}dx \\\displaystyle=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{\cosh2ixy}{\cosh x}dx$

ここで、補題として$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cosh{zx}}{\cosh x}dx=\frac{\pi}{2}\sec\frac{\pi}{2}z$を示します。

(補題の証明)
$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cosh zx}{\cosh x}dx \\\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{zx}}{\cosh x}dx \\\displaystyle=\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{x^z}{\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)}\frac{dx}{x} \\\displaystyle=\int_0^\infty\frac{x^z}{x^2+1}dx \\\displaystyle=\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{x^{\frac{z-1}{2}}}{x+1}dx$

ここで、
$\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^{a-1}}{(1+x)^{a+b}}dx \\\displaystyle=\int_0^1\frac{\left(\frac{t}{1-t}\right)^{a-1}}{\left(1+\frac{t}{1-t}\right)^{a+b}}\frac{dt}{(1-t)^2} \\\displaystyle=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$
であるので、
$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cosh{zx}}{\cosh x}dx \\\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{1+z}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1-z}{2}\right)}{\Gamma(1)} =\frac{\pi}{2}\sec\frac{\pi}{2}z$
これで補題が成り立つことがわかりました。

補題より、
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-2\pi ixy}}{\cosh\pi x}dx \\\displaystyle=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{\cosh2ixy}{\cosh x}dx \\\displaystyle=\sec(i\pi y) \\\displaystyle=\frac{1}{\cosh\pi y}$
Q.E.Dです。

また、これにポアソン和公式を使うと、

$\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh \pi n}=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{\cosh \pi n}$

となります。