今日の問題(2020年11月11日)

関数$f:{\mathbb{R}}^3→\mathbb{R} $は${C^{\infty} }$級で，ある自然数$k $が存在して，すべての$t∈\mathbb{R} $について

$f(tx,ty,tz)={t^k}f(x,y,z) $

が成立するとする．

$D=\{(x,y,z)∈{\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2\leq1\} $

${S^2}=\{(x,y,z)∈{\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2=1\} $

とおく．${\mathbb{R}}^3 $のユークリッド計量から導かれる${S^2} $のリーマン計量に関する面積要素を$\omega $で表す．

1. 関数$f $は

$\displaystyle \left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}+z\frac{\partial}{\partial z}\right)f=kf $

を満たすことを示せ．

(2)等式

$\displaystyle \int_{{S^2}}kf\omega=\int_D \left(\frac{{\partial}^2f}{\partial{x}^2}+\frac{{\partial}^2f}{\partial{y}^2}+\frac{{\partial}^2f}{\partial{z}^2}\right)dx∧dy∧dz $

を示せ．

(3)$f(x,y,z)=a{x^4}+b{y^4}+c{z^4}$のとき，次の積分の値を$a,b,c $を用いて表せ．

$\displaystyle \int_{{S^2}}f\omega $

(平成22年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目B第8問)