今日の問題(2020年11月11日)

関数$f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$は$C^{\mathrm{\infty }}$級で，ある自然数$k$が存在して，すべての$t\in \mathbb{R}$について

$f(tx,ty,tz)=t^{k}f(x,y,z)$

が成立するとする．

$D=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2\le 1\}$

$S^2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2=1\}$

とおく．${\mathbb{R}}^3$のユークリッド計量から導かれる$S^2$のリーマン計量に関する面積要素を$\omega$で表す．

1. 関数$f$は

${\displaystyle (x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z})f=kf}$

を満たすことを示せ．

(2)等式

${\displaystyle {\int }_{S^2}kf\omega ={\int }_D(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2})dx\wedge dy\wedge dz}$

を示せ．

(3)$f(x,y,z)=a{x}^4+b{y}^4+c{z}^4$のとき，次の積分の値を$a,b,c$を用いて表せ．

${\displaystyle {\int }_{S^2}f\omega }$

(平成22年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目B第8問)