半群

$S$を空でない集合とする。$S$が$\times$について半群であるとは、任意の元$a,b,c\in S$について、結合律$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$が成立することである。

任意の元$x\in S$について$ex=x$ととなるとき$e\in S$は左単位元であるという。
右単位元も同様に定義する。左単位元で右単位元でもあるものを両側単位元という。

任意の元$x\in S$について$0x=0$となるとき$0\in S$は左零であるという。右零も同様に定義する。

$S$を半群とする。$S$の元ではない記号$0$を取り、$S\cup \{0\}$に上の二項演算$\times$を次のように定める。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x\times y=xy\cdots (x,y\in S)\\ x\times y=0\cdots (\{x,y\}\cap \{0\}\ne \mathrm{\varnothing })\end{array}\end{array}$$
このように定義した演算$\times$について$S\cup \{0\}$は半群になる。これを$S$の$0$添加といい、記号$S_0$で表す。

$S$を半群とする。$S$の元ではない記号$1$を取り、$S\cup \{1\}$に上の二項演算$\times$を次のように定める。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x\times y=xy\cdots (x,y\in S)\\ x\times y=y\times x=y\cdots (x=1)\end{array}\end{array}$$
このように定義した演算$\times$について$S\cup \{1\}$は半群になる。これを$S$の$1$添加といい、記号$S_1$で表す。

両側単位元を持つ半群のことをモノイドという。

$S$を半群、$T$をその部分集合とする。$a,b\in T\Rightarrow ab\in T$という条件が成立するとき、$T$は部分半群であるという。