半群
半群は解析学などにも応用がある。
$S$を空でない集合とする。$S$が$\times$について半群であるとは、任意の元$a,b,c\in S $について、結合律$ a \times (b \times c)=(a \times b) \times c$が成立することである。
正の整数全体の集合$\mathbb{Z} ^{+}$は$+$や$\times$について半群である。
$S$を集合とする。$S$から$S$への写像全体の集合は合成について半群である。
少し変わった例を紹介する。$S$を空でない集合とする。任意の元$x,y \in S$について、$x \times y=x $とすると、$S$は$\times$について半群になる。これを左零半群という。
半群は非常に範囲が広い。そのため、特殊な半群について考察するところから始める。そのために半群の特殊な元をいくつか紹介する。以下、$S$を半群とする。
任意の元$x\in S$について$ex=x$ととなるとき$e\in S$は左単位元であるという。
右単位元も同様に定義する。左単位元で右単位元でもあるものを両側単位元という。
$\mathbb{Z}^{+}$は$\times $について半群であり、$1$を単位元として持つ。
任意の元$x\in S$について$0x=0$となるとき$0\in S$は左零であるという。右零も同様に定義する。
左零半群においては任意の元は左零であり、右単位元でもある。
群のときも同様に、単位元などには適切な性質がある。
半群$S$が左単位元と右単位元を持てば$S$は両側単位元も持ち、これは唯一つである。
左側単位元として$e_l$を、右単位元$e_r$をとる。$e_l=e_le_r=e_r$(ここで一つ目の等式は$e_r$が右単位元であることを用いている。二つ目の等式も同様である。)よって、$e_l$は右単位元でもある。つまり、両側単位元も持つ。両側単位元の唯一性は$e_l=e_r$から明らかである。
半群$S$が左零と右零を持てば両側零も持ち、それは一意的である。
$S$を半群とする。$S$の元ではない記号$0$を取り、$S \cup \{0 \}$に上の二項演算$\times$を次のように定める。
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l} x\times y=xy
\cdots (x,y \in S)
\\
x\times y=0
\cdots (\{x,y \} \cap \{0\} \neq \emptyset )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
このように定義した演算$\times $について$S \cup \{ 0 \}$は半群になる。これを$S$の$0$添加といい、記号$S_0$で表す。
$S$を半群とする。$S$の元ではない記号$1$を取り、$S \cup \{1 \}$に上の二項演算$\times$を次のように定める。
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l} x\times y=xy
\cdots (x,y \in S)
\\
x\times y=y\times x= y
\cdots (x=1 )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
このように定義した演算$\times $について$S \cup \{ 1 \}$は半群になる。これを$S$の$1$添加といい、記号$S_1$で表す。
$S_0$は唯一つの両側零$0$を持ち、$S_1$は唯一つの両側単位元$1$を持つ。
$S$が零を持っていたとしても、$S_0$においてはその元は零ではない。
$\mathbb{N}=\{0,1,2, \dots \}$は$+$ について半群になる。集合$\mathbb{N} \cup \{ \infty \}$ 上の二項演算$\triangle$を
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l} n \triangle m=n+m
(n,m \in \mathbb{N}) \\
n \triangle \infty = \infty \triangle n= \infty (n \in \mathbb{N} \cup \{\infty \})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
と定義すると、$\mathbb{N} \cup \{\infty \}$は $\triangle $について半群になる。$0$が単位元で$\infty $が零である。
両側単位元を持つ半群のことをモノイドという。
以下、群論の部分群にあたる部分を定義する。
$S$を半群、$T$をその部分集合とする。$a,b \in T \Rightarrow ab \in T$という条件が成立するとき、$T$は部分半群であるという。
以下これから作ります