等差数列の関係と図形(解析)的処理

等差数列をなしているというのは個人的には釣り合いが取れているといった$,$非常にきれいな性質と感じています$.$特にそれが関数によって写された後でも成り立っていたらすごいなーってなりませんか$($僕はなります$)$?
今回はそれについて調べたことがあることを書こうかなと思います$.$

次の条件を満たす$A=(a,b)\ (a,b\in\mathbb{R}$かつ$a < b)$上の関数$f$を「よい」関数と定める$.$

<条件>

$A$上で定義された連続関数$f$であって$,$$3$つの相異なる$\alpha,\beta,\gamma\in A$が存在して$\alpha,\beta,\gamma$および$f(\alpha),f(\beta),f(\gamma)$がそれぞれ等差数列をなす$.$

$f(x)=x$は任意の$A$上でよい関数となる$($自明$).$

$f(x)=\sin x$は$(-\pi,\pi)$上でよい関数となる
$\quad (-c,0,c\ (|c|<\pi)$をとればよい$).$

$f(x)=x^2$は任意の$A$上でよい関数とならない$($示してみよ$).$

まず$,$等差数列をなすというのは次の関係式が成り立つときでした$.$
$\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}=\beta$
今回の命題についてはこれが$f$を通した後でも成り立っています$.$
$\displaystyle\frac{f(\alpha)+f(\gamma)}{2}=f(\beta)$
これを見て何か気付きませんか?そうです$.$座標平面における中点と対応してますね!
$\displaystyle(\beta,f(\beta))=\left(\frac{\alpha+\gamma}{2},\frac{f(\alpha)+f(\gamma)}{2}\right)$
ということは$,$よい関数というのは