以前思いついた環論の問題を記事にします．
Rは体でない可換環で，(1)を除く任意のイデアルが有限集合とする．このときRは有限環である．
Rは零環でないとしてよい．Rは体でも零環でもないので，0でも単元でもないRの元aが存在する．R準同型ϕ:R→aRをϕ(x)=axで定める．ϕは全射だから準同型定理より，|R|=|Kerϕ||aR|．aは0でも単元でもないので，KerϕとaRはRの真のイデアルである．よって，上式の右辺は有限である．
以上より，Rが有限環であることが示された．
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