以前思いついた環論の問題を記事にします．
$R$は体でない可換環で，$(1)$を除く任意のイデアルが有限集合とする．このとき$R$は有限環である．
$R$は零環でないとしてよい．
$R$は体でも零環でもないので，$0$でも単元でもない$R$の元$a$が存在する．
$R$準同型$\phi : R \to aR$を$\phi(x)=ax$で定める．
$\phi$は全射だから準同型定理より，$|R| =| \text{Ker} \phi| |aR|$．
$a$は$0$でも単元でもないので，$\text{Ker} \phi$と$aR$は$R$の真のイデアルである．よって，上式の右辺は有限である．
以上より，$R$が有限環であることが示された．