2

非自明なイデアルが有限集合になる可換環

78
0
$$$$

以前思いついた環論の問題を記事にします.

$R$は体でない可換環で,$(1)$を除く任意のイデアルが有限集合とする.このとき$R$は有限環である.

$R$は零環でないとしてよい.
$R$は体でも零環でもないので,$0$でも単元でもない$R$の元$a$が存在する.
$R$準同型$\phi : R \to aR$$\phi(x)=ax$で定める.
$\phi$は全射だから準同型定理より,$|R| =| \text{Ker} \phi| |aR|$
$a$$0$でも単元でもないので,$\text{Ker} \phi$$aR$$R$の真のイデアルである.よって,上式の右辺は有限である.

以上より,$R$が有限環であることが示された.

投稿日:20201110
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中