行列の対角化を考えるときに固有値や固有ベクトルを求めれば良い理由

※本記事は， 既に別所で投稿した内容 をMathlogのために書き直したものです．

$A$を対角化可能な$n$次正方行列とすると，ある$n$次正方行列$P$が存在して
$$ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n \end{pmatrix} $$
が成り立つ．このとき
$$ AP=P \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n \end{pmatrix} $$
である．$p_1,\cdots,p_n$を$n$次列ベクトルとして$P=(p_1,\cdots,p_n)$と書き表すと
$$ A(p_1,\cdots,p_n)=(p_1,\cdots,p_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n \end{pmatrix} $$
すなわち
$$ (Ap_1,\cdots,Ap_n)=(\lambda_1p_1,\cdots,\lambda_np_n) $$
となり，これより各$k=1,\cdots,n$に対して
$$ Ap_k=\lambda_kp_k $$
が得られる．すなわち，$\lambda_k$は$A$の固有値であり，$p_k$は$\lambda_k$に対応する$A$の固有ベクトルである．従って，$A$の対角化を実現するには$A$の固有値と固有ベクトルを求めればよい．