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行列の対角化を考えるときに固有値や固有ベクトルを求めれば良い理由

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※本記事は, 既に別所で投稿した内容 をMathlogのために書き直したものです.

A対角化可能なn次正方行列とすると,あるn次正方行列Pが存在して
P1AP=(λ1OOλn)
が成り立つ.このとき
AP=P(λ1OOλn)
である.p1,,pnn次列ベクトルとしてP=(p1,,pn)と書き表すと
A(p1,,pn)=(p1,,pn)(λ1OOλn)
すなわち
(Ap1,,Apn)=(λ1p1,,λnpn)
となり,これより各k=1,,nに対して
Apk=λkpk
が得られる.すなわち,λkAの固有値であり,pkλkに対応するAの固有ベクトルである.従って,Aの対角化を実現するにはAの固有値と固有ベクトルを求めればよい.

投稿日:20201111
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電気魚
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