次元定理の証明

$V$の部分空間$\ker f$の基底$\{{\mathbf{u}}_1,\cdots {\mathbf{u}}_s\}$をとる。
また、$W$の部分空間$\mathrm{I}\mathrm{m}f$の基底$\{{\mathbf{w}}_1,\cdots ,{\mathbf{w}}_r\}$をとる。
今、各$i=1,\cdots ,r$に対して$f({\mathbf{v}}_i)={\mathbf{w}}_i$となるような${\mathbf{v}}_i\in V$をとる。
このとき、$\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_s,{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$が$V$の基底となることを示す。

まず、$\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_s,{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$の線形独立性を示す。
$$a_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +a_s{\mathbf{u}}_s+b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_r{\mathbf{v}}_r=0$$であるとき、両辺を$f$によって写すと$f$は線形写像であるから
$$a_{1}f({\mathbf{u}}_1)+\cdots +a_{s}f({\mathbf{u}}_{\mathbf{s}})+b_{1}f({\mathbf{v}}_1)+\cdots +b_{r}f({\mathbf{v}}_r)=0$$$$b_1{\mathbf{w}}_1+\cdots +b_r{\mathbf{w}}_r=0$$となる。ここで、$\{{\mathbf{w}}_1,\cdots ,{\mathbf{w}}_r\}$は$\mathrm{I}\mathrm{m}f$の基底であることから、線形独立である。
ゆえに$b_1=\cdots =b_r=0$である。
したがって$$a_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +a_s{\mathbf{u}}_s=0$$となるが、$\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_s\}$は$\ker f$の基底であることから、線形独立である。
ゆえに$a_1=\cdots =a_s=0$である。
したがって$\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_s,{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$は線形独立である。

次に$V=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_s,{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$であることを示す。
$\mathbf{v}\in V$に対する$\mathrm{I}\mathrm{m}f$の元$f(\mathbf{v})=\mathbf{w}$を考える。
$\mathbf{w}=b_1{\mathbf{w}}_1+\cdots +b_r{\mathbf{w}}_r$とし、 $f(\mathbf{v}-(b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_r{\mathbf{v}}_r))$を考えると
$f(\mathbf{v}-(b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_r{\mathbf{v}}_r))=f(\mathbf{v})-\mathbf{w}=0$であるから$\mathbf{v}-(b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_r{\mathbf{v}}_r）\in \ker f$である
ゆえに$\mathbf{v}-(b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_r{\mathbf{v}}_r)$は$\ker f$の基底$\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_s\}$を用いて
$$\mathbf{v}-(b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_r{\mathbf{v}}_r)=a_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +a_s{\mathbf{u}}_s$$と表せる。したがって任意の$V$の元$\mathbf{v}$は
$$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +a_s{\mathbf{u}}_s+b_1{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}+\cdots +b_r{\mathbf{v}}_r$$と表せる。ゆえに$\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_s,{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r\}$は$V$を構成する。

ここで$\dim \ker f=s,\dim \mathrm{I}\mathrm{m}f=r,\dim V=s+r$であることから
$$\dim \ker f+\dim \mathrm{I}\mathrm{m}f=\dim V$$が成立。