単純な1階微分方程式であるが三角関数が入ると面倒そうである。ラプラス変換をすれば解けそうだが,それでも面倒そうな気がして解くのを躊躇してしまう。でも,電気工学科の学生ならば,比較的簡単に例題の解を導くことができるのだ。さあ,解いてみよう。
例題の式を電気回路で置き換えると,実は
を解くことと同じである。電気回路に落とし込めそうならば,電気工学科ならお手のものだ。
(1)式を解くにあたり,まず,一般解(過渡解)を考える。つまり,
を解く。これは,下記のように比較的容易に解くことができる。
次に,特殊解(定常解)を求める。さて,どう求めるか?この特殊解の導出が面倒なことが例題の式を解くことを困難にしているのである。でも大丈夫,なぜなら2年生の時にフェイザーを習得しているから。つまり,(1)式は,
と表せる。(アンダーラインの部分は普通は表記しないが,ここでは,分かりやすさのためにあえて残してみた。) (4)式からは
と表すのである。そして,
ここで,
となり,あっさりと特殊解を求められる。ここまでくれば,あとは簡単。一般解と特殊解を纏めると,
となり,
したがって,
と解くことができる。
念のため,例題の解は,
となる。めでたし。めでたし。