今日の問題(2020年11月11日)解答

関数$f:{\mathbb{R}}^3→\mathbb{R} $は${C^{\infty} }$級で，ある自然数$k $が存在して，すべての$t∈\mathbb{R} $について

$f(tx,ty,tz)={t^k}f(x,y,z) $

が成立するとする．

$D=\{(x,y,z)∈{\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2\leq1\} $

${S^2}=\{(x,y,z)∈{\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2=1\} $

とおく．${\mathbb{R}}^3 $のユークリッド計量から導かれる${S^2} $のリーマン計量に関する面積要素を$\omega $で表す．

$(1)$ 関数$f $は

$\displaystyle \left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}+z\frac{\partial}{\partial z}\right)f=kf $

を満たすことを示せ．

$(2)$ 等式

$\displaystyle \int_{{S^2}}kf\omega=\int_D \left(\frac{{\partial}^2f}{\partial{x}^2}+\frac{{\partial}^2f}{\partial{y}^2}+\frac{{\partial}^2f}{\partial{z}^2}\right)dx∧dy∧dz $

を示せ．

$(3)$ $f(x,y,z)=a{x^4}+b{y^4}+c{z^4}$のとき，次の積分の値を$a,b,c $を用いて表せ．

$\displaystyle \int_{{S^2}}f\omega $

(平成22年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目B第8問)

【略解】

(1)条件$f(tx,ty,tz)={t^k}f(x,y,z) $において両辺を$t $で微分して$t=1$とおけば求める等式が得られる。

(2)$\displaystyle X:=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y}+ \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z}$ とおくと

$\displaystyle \div X= \frac{{\partial}^2 f}{\partial {x}^2}+ \frac{{\partial}^2 f}{\partial {y}^2}+ \frac{{\partial}^2 f}{\partial {z}^2}$

$\displaystyle \mathfrak{N}:=x\frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y}+ z\frac{\partial}{\partial z} $を

${S^2}$の外向きの単位法線ベクトル場とする．

$η:=dx∧dy∧dz $は ${\mathbb{R}}^3$の体積要素だからGaussの公式 ${^1} $より

$\displaystyle \int_{S^2}g(X,\mathfrak{N})\omega=\int_D \div Xη$

が成り立つ．($g$は ${S^2}$のリーマン計量)

よって(1)より

$\displaystyle \int_{{S^2}}kf\omega=\int_D \left(\frac{{\partial}^2f}{\partial{x}^2}+\frac{{\partial}^2f}{\partial{y}^2}+\frac{{\partial}^2f}{\partial{z}^2}\right)dx∧dy∧dz $

が成り立つ．

3. $f(x,y,z)=a{x^4}+b{y^4}+c{z^4}$のときは$k=4$として仮定が満たされている．

(2)より

$\displaystyle \int_{{S^2}}f\omega=3\int_D (ax^2+by^2+cz^2)dx∧dy∧dz $

ここで

$x=r\sin\theta\cos\varphi，y=r\sin\theta\sin\varphi，z=r\cos\theta $

と変数変換する． $(0< r\leq1，0<\theta<\pi，0\leq\varphi<2\pi)$

このとき

$dx∧dy∧dz={r^2}\sin\theta dr∧d\theta∧d\varphi $

だから

$\displaystyle \int_D (ax^2+by^2+cz^2)dx∧dy∧dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}{r^4}(a{\sin}^2\theta{\cos}^2\varphi+b{\sin}^2\theta{\sin}^2\varphi+c{\cos}^2\theta)\sin\theta dr∧d\theta∧d\varphi=\frac{4}{15}(a+b+c)\pi$

よって求める積分の値は

$\displaystyle\frac{4}{5}(a+b+c)\pi$

である．

1. たとえば「微分形式の幾何学2」(岩波書店) 定理4.9(p180)参照