今日の問題(2020年11月11日)解答

関数$f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$は$C^{\mathrm{\infty }}$級で，ある自然数$k$が存在して，すべての$t\in \mathbb{R}$について

$f(tx,ty,tz)=t^{k}f(x,y,z)$

が成立するとする．

$D=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2\le 1\}$

$S^2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2=1\}$

とおく．${\mathbb{R}}^3$のユークリッド計量から導かれる$S^2$のリーマン計量に関する面積要素を$\omega$で表す．

$(1)$ 関数$f$は

${\displaystyle (x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z})f=kf}$

を満たすことを示せ．

$(2)$ 等式

${\displaystyle {\int }_{S^2}kf\omega ={\int }_D(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2})dx\wedge dy\wedge dz}$

を示せ．

$(3)$ $f(x,y,z)=a{x}^4+b{y}^4+c{z}^4$のとき，次の積分の値を$a,b,c$を用いて表せ．

${\displaystyle {\int }_{S^2}f\omega }$

(平成22年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目B第8問)

【略解】

(1)条件$f(tx,ty,tz)=t^{k}f(x,y,z)$において両辺を$t$で微分して$t=1$とおけば求める等式が得られる。

(2)${\displaystyle X:=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial }{\partial z}}$ とおくと

${\displaystyle \mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }X=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}}$

${\displaystyle \mathfrak{N}:=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z}}$を

$S^2$の外向きの単位法線ベクトル場とする．

$\eta :=dx\wedge dy\wedge dz$は ${\mathbb{R}}^3$の体積要素だからGaussの公式 ${}^1$より

${\displaystyle {\int }_{S^2}g(X,\mathfrak{N})\omega ={\int }_D\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }X\eta }$

が成り立つ．($g$は $S^2$のリーマン計量)

よって(1)より

${\displaystyle {\int }_{S^2}kf\omega ={\int }_D(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2})dx\wedge dy\wedge dz}$

が成り立つ．

3. $f(x,y,z)=a{x}^4+b{y}^4+c{z}^4$のときは$k=4$として仮定が満たされている．

(2)より

${\displaystyle {\int }_{S^2}f\omega =3{\int }_D(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)dx\wedge dy\wedge dz}$

ここで

$x=r\sin \theta \cos \phi ，y=r\sin \theta \sin \phi ，z=r\cos \theta$

と変数変換する． $(0<r\le 1，0<\theta <\pi ，0\le \phi <2\pi )$

このとき

$dx\wedge dy\wedge dz=r^2\sin \theta dr\wedge d\theta \wedge d\phi$

だから

${\displaystyle {\int }_D(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)dx\wedge dy\wedge dz={\int }_0^1{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{r}^4(a{\sin }^2\theta {\cos }^2\phi +b{\sin }^2\theta {\sin }^2\phi +c{\cos }^2\theta )\sin \theta dr\wedge d\theta \wedge d\phi =\frac{4}{15}(a+b+c)\pi }$

よって求める積分の値は

${\displaystyle \frac{4}{5}(a+b+c)\pi }$

である．

1. たとえば「微分形式の幾何学2」(岩波書店) 定理4.9(p180)参照