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大学数学基礎解説

ガンマ関数，ディガンマ関数，三角関数が入った極限

ガンマ関数,ディガンマ関数,極限

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問題

\begin{array}{r} lim_{x \to 0} Γ (x) (2 \sin (\frac{π}{2} x) ψ (x) + π \cos (\frac{π}{2} x)) = ? \end{array}

\begin{aligned} lim_{x \to 0} Γ (x) (2 \sin (\frac{π}{2} x) ψ (x) + π \cos (\frac{π}{2} x)) \\ = lim_{x \to 0} Γ (x + 1) \frac{2 \sin (\frac{π}{2} x) ψ (x) + π \cos (\frac{π}{2} x)}{x} \\ = lim_{x \to 0} \frac{π + 2 \sin (\frac{π}{2} x) ψ (x)}{x} + π lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} x) - 1}{x} \\ = lim_{x \to 0} \frac{π + 2 \sin (\frac{π}{2} x) ψ (x + 1) - \frac{2 \sin (\frac{π}{2} x)}{x}}{x} + \frac{π^{2}}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x} \\ = lim_{x \to 0} \frac{π - \frac{2 \sin (\frac{π}{2} x)}{x}}{x} + 2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} x) ψ (x + 1)}{x} \\ = \frac{π^{2}}{2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{x} - γ π lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} (ψ (1) = - γ) \\ = \frac{π^{2}}{2} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{2}} - γ π \\ = \frac{π^{2}}{2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2 x} - γ π \\ = - γ π \end{aligned}

一般化

\begin{array}{r} lim_{x \to 0} Γ (a x) (p \sin (b x) ψ (c x) + q \cos (d x)) = - \frac{p b}{a} γ (a > 0, \frac{p}{q} = \frac{c}{b}) \end{array}

投稿日：2020年11月11日

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