ガンマ関数，ディガンマ関数，三角関数が入った極限

問題
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \Gamma(x)\left(2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\psi(x) + \pi \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right) ~=~? \end{align*}

\begin{align*} &\lim_{x\to 0} \Gamma(x) \left(2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\psi(x) + \pi \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right) \\ &= \lim_{x\to 0} \Gamma(x+1) \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\psi(x) + \pi \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x}\\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\pi + 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\psi(x)}{x} + \pi \lim_{x\to 0} \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) - 1}{x} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\pi + 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\psi(x+1) - \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x}}{x} + \frac{\pi^2}{2} \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\pi - \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x}}{x} + 2\lim_{x\to 0} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\psi(x+1)}{x}\\ &= \frac{\pi^2}{2}\lim_{x\to 0} \frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{x} - \gamma \pi \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\psi(1)=-\gamma) \\ &= \frac{\pi^2}{2}\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^2} - \gamma \pi \\ &= \frac{\pi^2}{2}\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{2x} - \gamma \pi \\ &= -\gamma \pi \end{align*}

一般化
\begin{align*} \lim_{x\to 0} \Gamma(ax)\left(p\sin(bx)\psi(cx) + q\cos(dx)\right) = -\frac{pb}{a}\gamma~~~\left(a>0,~\frac{p}{q}=\frac{c}{b}\right) \end{align*}

投稿日：2020年11月11日

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Re_menal

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