複素解析：解析関数の零点の離散性

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今回の目標

複素解析の面白い部分のひとつである「解析接続」について紹介しようと思ったのですが、その準備として「一致の定理」が必要であることに気付きました。そこで一致の定理の記事を書こうとしていたのですが、証明を書いていたら長くなってしまったので、まずは準備の準備として、「零点の離散性」を紹介したいと思います。

今回の予備知識

用語について

連結な開集合のことを領域といいます。
$Ω \subset C$ を領域とします。 $z \in Ω$ が関数 $f : Ω \to C$ の零点であるとは、 $f (z) = 0$ をみたすことをいいます。
$C$ 内の集合 $S$ と点 $z \in S$ に対して、 $z$ が $S$ の孤立点であるとは、 $z$ のある近傍 $U$ が存在して、 $U \cap S = {z}$ が成り立つことをいいます。また、 $S$ が離散的であるとは、任意の $z \in S$ が $S$ の孤立点であることをいいます。

定義・性質について

今回は、解析関数と呼ばれる関数の性質を紹介します。解析関数の定義を見てみましょう。

解析関数

$Ω \subset C$ を領域(連結な開集合)とする。関数 $f : Ω \to C$ が解析的であるとは、任意の $z_{0} \in Ω$ に対して、ある $z_{0}$ の近傍 $U$ と $a_{p} \in C$ ( $p = 0, 1, \dots$ )が存在して、任意の $z \in U$ に対して
$f (z) = \sum_{p = 0}^{+ \infty} a_{p} (z - z_{0})^{p}$
が成り立つことをいう。

このように、無限級数として解析関数を表示することを、( $z_{0}$ を中心とする)テイラー展開と呼びます。右辺の無限級数は、 $c := \underset{p \to + \infty}{lim sup} | a_{p} |^{1 / p}$ とおいたとき、 $z_{0}$ を中心とする半径 $1 / c$ の円の内部で収束することが知られています。この円のことを収束円とよび、収束円の半径 $1 / c$ を収束半径とよびます。このとき、収束円上に定まる関数もまた解析関数になることが知られています。また、解析関数は連続であることも知られています。

複素関数が解析的であることと、正則であること(複素微分可能であること)はじつは同値になることが知られています。これはとても重要な結果ですが、今回は使いません。

零点の離散性とその証明

今回紹介する定理は、次のようになります。

解析関数の零点の離散性

$Ω \subset C$ を領域とし、関数 $f : Ω \to C$ が解析的であるとする。 $f$ が恒等的に $0$ でないならば、 $f$ の零点集合 ${z \in Ω : f (z) = 0}$ は $Ω$ 内で離散的である。

定理1の証明は、以下のような流れになっています。

(Step 1) $z_{0}$ を $f$ の零点としたとき、以下のいずれかの状況であることを示す：
1. $z_{0}$ の近傍上にまったく零点がない
2. $z_{0}$ のある近傍がすべて零点である
(Step 2) この結果と $Ω$ の連結性から、すべての零点が一斉に1.のパターンであるか、一斉に2.のパターンであるかのいずれかの状況しかないことを示す。

証明の前半

Step1

$f$ の零点集合を $Z (f)$ と書く。すなわち、
$Z (f) := {z \in Ω : f (z) = 0}$
とする。

$z_{0} \in Z (f)$ を任意にとる。まず次のことを示す：

(主張) 以下の1.か2.のいずれかが成り立つ。
1. $z_{0}$ が $Z (f)$ の孤立点である。すなわち、ある $z_{0}$ の近傍 $V$ が存在して、 $Z (f) \cap V = {z_{0}}$ が成り立つ。
2. $z_{0}$ のある近傍 $U$ が存在して、 $U$ 上で恒等的に $f = 0$ となる。

$z_{0}$ を中心にして $f$ をテイラー展開して、収束円 $U$ 上で
$f (z) = \sum_{p = 0}^{+ \infty} a_{p} (z - z_{0})^{p}$
と書く。 $f (z_{0}) = a_{0}$ なので、 $a_{0} = 0$ である。

すべての $a_{p}$ が $0$ であれば、 $U$ 上で $f = 0$ である。
一方、 $a_{p}$ のうち $0$ でないものが存在するならば、 $a_{p} \neq 0$ をみたす最小の $p$ が存在するので、それを $p_{0}$ とおく。 $a_{0} = 0$ だったから、 $p_{0} \geq 1$ である。
すると、
$f (z) = (z - z_{0})^{p_{0}} \sum_{p = p_{0}}^{+ \infty} a_{p} (z - z_{0})^{p - p_{0}}$
と書くことができる。無限和の部分を
$g (z) = \sum_{p = p_{0}}^{+ \infty} a_{p} (z - z_{0})^{p - p_{0}}$
とおくと、これは $U$ 上の解析関数を定める(収束半径が変わらないことを確かめることができる)。 $g (z_{0}) = a_{p_{0}} \neq 0$ である。解析関数は連続なので、 $z_{0}$ のある近傍 $V \subset U$ が存在して、 $z \in V$ に対して $g (z) \neq 0$ である。
したがって、 $V$ 上で $f (z) = (z - z_{0})^{p_{0}} \cdot g (z)$ の零点は $z_{0}$ のみである。これで(主張)が示された。

以上が証明の前半になります。解析的なのでテイラー展開をして、係数のうち0でない最も低い次数のところを取り出し、「因数分解」のようなことをしたことになります。そうすると、出てきた $g$ の部分もまた解析関数になるので、連続性から近くに零点が全くないことがわかります。

証明の後半

それでは証明の後半を見てみましょう。

prf Step2

$f$ が恒等的に $0$ でないとして、すべての $f$ の零点が $Z (f)$ の孤立点であることを証明する。そのために、(主張)の2.のタイプの零点の集合を
$\hat{Z} (f) := {z \in Z (f) : z は (主張) の 2. のタイプの零点}$
とおく。 $\hat{Z} (f)$ が $Ω$ 内で開かつ閉であることを示そう。すると、 $Ω$ は連結なので、 $\hat{Z} (f)$ は空であるか $Ω$ と一致することになる。後者であれば $f$ は恒等的に $0$ だということになるので仮定に反する。したがって前者が成り立ち、 $f$ のすべての零点が $Z (f)$ の孤立点となることがわかる。

( $\hat{Z} (f)$ が $Ω$ の開集合であること) $z \in \hat{Z} (f)$ をとる。定義から、ある $z$ の開近傍 $U$ が存在して、 $U \subset Z (f)$ となる。すると、 $U$ 内の点はすべて $\hat{Z} (f)$ にも含まれる。したがって、 $\hat{Z} (f)$ は $z$ の近傍となる。これは任意の $z$ に対して成り立つので、 $\hat{Z} (f)$ は開集合である。

( $\hat{Z} (f)$ が $Ω$ の閉集合であること) $\hat{Z} (f)$ 内の点列 ${z_{j}}_{j \in N}$ であって、 $z_{j} \to z \in Ω$ となるものをとる。すべての $j$ について $z_{j} \neq z$ であるとしてよい。 $f$ の連続性から、 $f (z) = lim_{j \to + \infty} f (z_{j}) = 0$ である。したがって $z \in Z (f)$ であるから、 $z$ は(主張)の1.か2.をみたすことになる。 $z$ に収束する点列 ${z_{j}}$ ですべての $j$ について $z_{j} \in Z (f)$ となるものが存在しているので、1.とはなりえず、したがって2.である。よって、 $z \in \hat{Z} (f)$ となり、 $\hat{Z} (f)$ は閉集合である。