【数列版ロピタルの定理】 Stolz-Cesàro の定理と証明

$l$が有限とする．$\{b_n\}$は非有界で狭義単調増加であるとする．

十分大きな$n$に対して$\{b_n\}$がすべて正であるので，その部分を考える．$\epsilon>0$を任意にとる．$\epsilon/3$に対して，ある$n_0$が存在して，任意の$n\ge n_0$に対して，$b_n>0$かつ
\begin{eqnarray} \left|\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}-l\right|<\epsilon/3.\end{eqnarray}
したがって，
\begin{eqnarray} (b_{n+1}-b_n)(l-\epsilon/3)< a_{n+1}-a_n<(b_{n+1}-b_n)(l+\epsilon/3). \end{eqnarray}
この不等式は任意の$n\ge n_0$に対して成り立つので，
\begin{gathered} \sum_{k=n_0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)(l-\epsilon/3)<\sum_{k=n_0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)<\sum_{k=n_0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)(l+\epsilon/3)\\ (b_{n}-b_{n_0})(l-\epsilon/3)< a_{n}-a_{n_0}<(b_{n}-b_{n_0})(l+\epsilon/3). \end{gathered}
全辺に$a_{n_0}$を足し合わせて$b_{n}(>0)$で割ると，
\begin{eqnarray} l-\frac{\epsilon}{3}-(l-\frac{\epsilon}{3})\frac{b_{n_0}}{b_{n}}+\frac{a_{n_0}}{b_{n}} <\frac{a_{n}}{b_{n}}< l+\frac{\epsilon}{3}-(l+\frac{\epsilon}{3})\frac{b_{n_0}}{b_{n}}+\frac{a_{n_0}}{b_{n}}. \end{eqnarray}
ここで，仮定より$\{b_n\}$は非有界で狭義単調増加であり$n$に関しての2つの数列$\{b_{n_0}/b_{n}\}$，$\{a_{n_0}/b_{n}\}$は$0$に収束することに気をつけると，ある$n_1>n_0$が存在して，任意の$n\ge n_1$に対して，
\begin{eqnarray} \left|\frac{b_{n_0}}{b_{n}}(l\pm\frac{\epsilon}{3})\right|<\frac{\epsilon}{3}\ \text{かつ}\ \left|\frac{a_{n_0}}{b_{n}}\right|<\frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray}
であるので，任意の$n\ge n_1$に対して，最終的に
\begin{eqnarray} \left|l-\frac{a_n}{b_n}\right|<\epsilon \end{eqnarray}
を得る．よって$a_n/b_n\to l$.同様の議論で$\{b_n\}$が狭義単調減少としても示せる．$l=+\infty$とする．$\{b_n\}$は非有界で狭義単調増加とする．十分大きい$n$に対して$b_n$はすべて正であるとしても一般性を失わない．

任意の$\epsilon>0$をとる．

ある$n_0$が存在して，任意の$n\ge n_0$に対して，
\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}>\epsilon \end{eqnarray}
すなわち
\begin{eqnarray} a_{n+1}-a_n>\epsilon(b_{n+1}-b_n). \end{eqnarray}
この不等式は任意の$n\ge n_0$で成り立つので
\begin{gathered} \sum_{k=n_0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)>\sum_{k=n_0}^{n-1}\epsilon(b_{k+1}-b_k)\\ a_n-a_{n_0}>\epsilon(b_n-b_{n_0})\\ a_{n}/b_{n}>\epsilon+(a_{n_0}-\epsilon b_{n_0})/b_{n} \end{gathered}
となる．ここで，仮定より$\{b_n\}$は非有界で狭義単調増加であるので，ある$n_1>n_0$が存在して，任意の$n>n_1$に対して
\begin{eqnarray} |(a_{n_0}-\epsilon b_{n_0})/b_{n}|<\epsilon/2 \end{eqnarray}
であるので，最終的に
\begin{eqnarray} a_n/b_n>\epsilon/2 \end{eqnarray}
を得る．よって，この場合において$a_n/b_n\to \infty$が示された．

これも同様の議論で$\{b_n\}$が狭義単調減少としても示せる．

また$l=-\infty$の場合も同様に示せる． よって定理は示された．