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【数列版ロピタルの定理】 Stolz-Cesàro の定理と証明

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$T E X$ インポートを使ってみた．

数列でもロピろう！

Stolz-Cesàroの定理

${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ を実数の数列とする． $b_{n}$ が狭義単調で非有界であり，極限
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = l (\in [- \infty, \infty]) \end{array}$
が存在するならば，
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = l . \end{array}$

$\begin{array}{r} a_{n} = \log n, b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \end{array}$
とする．
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} & = lim_{n \to \infty} \frac{\log \frac{n + 1}{n}}{\frac{1}{n + 1}} \\ = lim_{n \to \infty} (n + 1) \log (1 + \frac{1}{n}) \\ = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) \cdot n \log (1 + \frac{1}{n}) \\ = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) \log {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \\ = 1 \end{aligned}$
となるので，Stolz-Cesàro の定理より，
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}} & = 1. \end{aligned}$

$l$ が有限とする． ${b_{n}}$ は非有界で狭義単調増加であるとする．

十分大きな $n$ に対して ${b_{n}}$ がすべて正であるので，その部分を考える． $ϵ > 0$ を任意にとる． $ϵ / 3$ に対して，ある $n_{0}$ が存在して，任意の $n \geq n_{0}$ に対して， $b_{n} > 0$ かつ
$\begin{array}{r} | \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} - l | < ϵ / 3. \end{array}$
したがって，
$\begin{array}{r} (b_{n + 1} - b_{n}) (l - ϵ / 3) < a_{n + 1} - a_{n} < (b_{n + 1} - b_{n}) (l + ϵ / 3) . \end{array}$
この不等式は任意の $n \geq n_{0}$ に対して成り立つので，
$\begin{matrix} \sum_{k = n_{0}}^{n - 1} (b_{k + 1} - b_{k}) (l - ϵ / 3) < \sum_{k = n_{0}}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) < \sum_{k = n_{0}}^{n - 1} (b_{k + 1} - b_{k}) (l + ϵ / 3) \\ (b_{n} - b_{n_{0}}) (l - ϵ / 3) < a_{n} - a_{n_{0}} < (b_{n} - b_{n_{0}}) (l + ϵ / 3) . \end{matrix}$
全辺に $a_{n_{0}}$ を足し合わせて $b_{n} (> 0)$ で割ると，
$\begin{array}{r} l - \frac{ϵ}{3} - (l - \frac{ϵ}{3}) \frac{b_{n_{0}}}{b_{n}} + \frac{a_{n_{0}}}{b_{n}} < \frac{a_{n}}{b_{n}} < l + \frac{ϵ}{3} - (l + \frac{ϵ}{3}) \frac{b_{n_{0}}}{b_{n}} + \frac{a_{n_{0}}}{b_{n}} . \end{array}$
ここで，仮定より ${b_{n}}$ は非有界で狭義単調増加であり $n$ に関しての2つの数列 ${b_{n_{0}} / b_{n}}$ ， ${a_{n_{0}} / b_{n}}$ は $0$ に収束することに気をつけると，ある $n_{1} > n_{0}$ が存在して，任意の $n \geq n_{1}$ に対して，
$\begin{array}{r} | \frac{b_{n_{0}}}{b_{n}} (l \pm \frac{ϵ}{3}) | < \frac{ϵ}{3} かつ | \frac{a_{n_{0}}}{b_{n}} | < \frac{ϵ}{3} \end{array}$
であるので，任意の $n \geq n_{1}$ に対して，最終的に
$\begin{array}{r} | l - \frac{a_{n}}{b_{n}} | < ϵ \end{array}$
を得る．よって $a_{n} / b_{n} \to l$ .同様の議論で ${b_{n}}$ が狭義単調減少としても示せる． $l = + \infty$ とする． ${b_{n}}$ は非有界で狭義単調増加とする．十分大きい $n$ に対して $b_{n}$ はすべて正であるとしても一般性を失わない．

任意の $ϵ > 0$ をとる．

ある $n_{0}$ が存在して，任意の $n \geq n_{0}$ に対して，
$\begin{array}{r} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} > ϵ \end{array}$
すなわち
$\begin{array}{r} a_{n + 1} - a_{n} > ϵ (b_{n + 1} - b_{n}) . \end{array}$
この不等式は任意の $n \geq n_{0}$ で成り立つので
$\begin{matrix} \sum_{k = n_{0}}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) > \sum_{k = n_{0}}^{n - 1} ϵ (b_{k + 1} - b_{k}) \\ a_{n} - a_{n_{0}} > ϵ (b_{n} - b_{n_{0}}) \\ a_{n} / b_{n} > ϵ + (a_{n_{0}} - ϵ b_{n_{0}}) / b_{n} \end{matrix}$
となる．ここで，仮定より ${b_{n}}$ は非有界で狭義単調増加であるので，ある $n_{1} > n_{0}$ が存在して，任意の $n > n_{1}$ に対して
$\begin{array}{r} | (a_{n_{0}} - ϵ b_{n_{0}}) / b_{n} | < ϵ / 2 \end{array}$
であるので，最終的に
$\begin{array}{r} a_{n} / b_{n} > ϵ / 2 \end{array}$
を得る．よって，この場合において $a_{n} / b_{n} \to \infty$ が示された．