一変数の微分法

一変数の微分法

極限

関数$y=f(x)$について,変数$x$がある定数$a$に限りなく近付くとき,その近づく方によらず,$f(x)$がある一定の値$b$に限りなく近付くとき,$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=b(x\to aのときf(x)\to b)$$
と表し,$f(x)$は$b$に収束するという,この$b$を極限値という.

特に,$x>a(x<a)$を満たしながら$a$に限りなく近付くときの極限を右(左)方極限と言い,$$\underset{x\to a+0(a-0)}{lim}f(x)$$
と表す.

連続

$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$が成り立つとき,$f(x)$は$x=a$で連続であるという.

特に,$\underset{x\to a+0(a-0)}{lim}f(x)=f(a)$が成り立つとき,$f(x)$は右(左)方連続という.

微分係数

関数$f(x)$に対して,$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$が存在するとき,$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという.この$f^{\prime }(a)$を微分係数という.

特に,$f^{\prime }+(-)a=\underset{h\to +0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$が存在するとき,この$f^{\prime }+(-)a$を右(左)方微分係数という.

導関数

区間区内の各点$x$に対してその微分係数を対応させた$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{n}$$
を関数$f(x)$の導関数という.$y^{\prime },\frac{dy}{dx}$で表すこともある.導関数を求めることを,微分する,という.

導関数がさらに微分可能であるとき,$f(x)$が2回微分可能であるという.導関数の導関数を二次導関数といい,$f^{\prime \prime }(x),y^{\prime \prime },\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$で表す.

同様にして,$f(x)$がn回微分可能であるとき,n次導関数を$f^{(n)}(x),y^{(n)},\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$で表す.n次導関数が連続であるとき,$f(x)$は$C^n$組であるという.$n\ge 3$のとき,まとめて高次導関数という.