積分解説13

2020/10/10に積分コンテストで出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1314883373463031808?s=21

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \pi x}{x{e}^x}dx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{e}^x}{\int }_0^{\pi }\frac{\partial }{\partial t}\sin txdtdx\\ & =& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\cos txdxdt\\ & =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(1-it)x}dxdt\\ & =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }{[-\frac{1}{1-it}{e}^{-(1-it)x}]}_0^{\mathrm{\infty }}dt\\ & =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }\frac{1}{1-it}dt\\ & =& \mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }\frac{1+it}{1+t^2}dt\\ & =& {\int }_0^{\pi }\frac{1}{1+t^2}dt\\ & =& {[\arctan t]}_0^{\pi }\\ & =& \arctan \pi \end{array}$
よって、この問題の解答は${\displaystyle \arctan \pi }$となります。