積分解説13

2020/10/10に積分コンテストで出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1314883373463031808?s=21

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \frac{\sin{\pi x}}{xe^x}dx\\ &=&\int_0^\infty \frac{1}{xe^x} \int_0^\pi \frac{\partial}{\partial t}\sin{tx} dtdx\\ &=&\int_0^\pi\int_0^\infty e^{-x}\cos{tx} dxdt\\ &=&\Re\int_0^\pi \int_0^\infty e^{-(1-it)x} dxdt\\ &=&\Re\int_0^\pi \left[-\frac{1}{1-it}e^{-(1-it)x} \right]_0^\infty dt\\ &=&\Re\int_0^\pi \frac{1}{1-it} dt\\ &=&\Re\int_0^\pi \frac{1+it}{1+t^2} dt\\ &=&\int_0^\pi \frac{1}{1+t^2}dt\\ &=&\left[\arctan{t} \right]_0^\pi\\ &=&\arctan{\pi} \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \arctan\pi$となります。