ベータ関数が入った級数

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以前，私がツイートした問題の解説をしたいと思います．

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2 B\left(\frac{n}{2}, \frac{n}{2} \right)}~=~? $$

解説$$\begin{align*} &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2 B\left(\frac{n}{2}, \frac{n}{2}\right)} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2} \frac{\Gamma(n)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}&(*1)\\ &= \frac{1}{4\sqrt{\pi}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \\ &= \frac{1}{4\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}B\left(\frac{n+1}{2}, \frac12\right) \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\sin x)^n}{n} dx\\ &= -\frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(1+\sin x) dx \\ &= -\frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sec x + \tan x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x dx \\ &= -\frac{1}{2\pi} \cdot 2G - \frac{1}{2\pi} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\ln 2\right) \\ &= \frac{\ln 2}{4} - \frac{G}{\pi} \end{align*}$$

*1:Legendreの倍角公式より

投稿日：2020年11月11日

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Re_menal

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