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ベータ関数が入った級数

120
1
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以前,私がツイートした問題の解説をしたいと思います.


$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2 B\left(\frac{n}{2}, \frac{n}{2} \right)}~=~? $$


解説$$\begin{align*} &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2 B\left(\frac{n}{2}, \frac{n}{2}\right)} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2} \frac{\Gamma(n)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}&(*1)\\ &= \frac{1}{4\sqrt{\pi}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \\ &= \frac{1}{4\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}B\left(\frac{n+1}{2}, \frac12\right) \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\sin x)^n}{n} dx\\ &= -\frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(1+\sin x) dx \\ &= -\frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sec x + \tan x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x dx \\ &= -\frac{1}{2\pi} \cdot 2G - \frac{1}{2\pi} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\ln 2\right) \\ &= \frac{\ln 2}{4} - \frac{G}{\pi} \end{align*}$$

*1:Legendreの倍角公式より

投稿日:20201111

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Re_menal
Re_menal
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16歳 代数や積分,級数についての記事を書きます!(2021 年時点) → 17 歳 (無限)圏論についての記事を書きます!(2022 年 12 月時点)

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