以前，私が<a href="https://twitter.com/Re_menal2/status/1320276429548843009">ツイートした問題</a>の解説をしたいと思います．
<div 
style="padding: 0.5em 1em;
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		 background: white; 
		 border-top: solid 5px  #5C9985; 
		 box-shadow: 0 3px 5px rgba(0, 0, 0, 0.22)">
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2 B\left(\frac{n}{2}, \frac{n}{2} \right)}~=~?
$$
</div>

<div 
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		width: 90%; 
		color: ; 
		background-color: #F5F8FA; 
		border: 5px solid  #5C9985">
	<span 
	style="font-weight: bold; 
			font-size: 1.2rem; 
			position: absolute; 
			padding: 0 .5em; 
			left: 20px; 
			top: -15px; 
			color: #999999; 
			background-color: #F5F8FA">解説</span>$$\begin{align*}
	&\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2 B\left(\frac{n}{2}, \frac{n}{2}\right)} \\
	&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n n^2} \frac{\Gamma(n)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\
	&= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}&(*1)\\
	&= \frac{1}{4\sqrt{\pi}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \\
	&= \frac{1}{4\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}B\left(\frac{n+1}{2}, \frac12\right) \\
	&= \frac{1}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx\\
	&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\sin x)^n}{n} dx\\
	&= -\frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(1+\sin x) dx \\
	&= -\frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sec x + \tan x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x dx \\
	&= -\frac{1}{2\pi} \cdot 2G - \frac{1}{2\pi} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\ln 2\right) \\
	&= \frac{\ln 2}{4} - \frac{G}{\pi} 
\end{align*}$$
</div>

*1:Legendreの倍角公式より 

ベータ関数が入った級数

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