二項分布の期待値と分散を冗長に導く

$X$ の期待値 $\mathbb{E}[X]$ は $X$ が可積分、すなわち
$$ \mathbb{E}[|X|]<\infty $$
が成り立つときに定義される。そこで、まずは事象$\{X=k\}$を考える。

事象$\{X=k\}$は$k=0,1,\dots,n$で互いに素であるから、
$$ \begin{align} \mathbb P(X\in\{0,1,\dots,n\}) &=\mathbb P\Bigl(\bigcup_{k=0}^n\{X=k\}\Bigr)\\ &=\sum_{k=0}^n\mathbb P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=(p+(1-p))^n\ \because\ \text{二項定理}\\ &=1 \end{align} $$
が成り立つ。従って$X$はほとんど確実に$\{0,1,\dots,n\}$に値をとる。特に$|X|\le n$がほとんど確実に成り立つ。

(期待値は確率変数に対して定義されるから) $n$を定数確率変数$n\cdot 1_\Omega$とみなし、両辺の期待値をとると
$$ \mathbb E[|X|]\le n\mathbb P(\Omega)=n<\infty $$
であるから、二項分布に従う確率変数$X$の期待値は有限実数として定義される。

また、殆ど全ての$\omega$に対して$X(\omega)\in\{0,1,\dots,n\}$であるから、指示関数$1_{\{X=k\}}$を用いれば
$$ X(\omega)=\sum_{k=0}^n k\,1_{\{X=k\}}(\omega)\ \text{がほとんど確実に成り立つ} $$
が成り立つ。

ゆえに、
$$ X=\sum_{k=0}^n k\,1_{\{X=k\}}\ \text{がほとんど確実に成り立つ} $$
であり、ここで各$\{X=k\}$は事象であり$1_{\{X=k\}}$は可積分である。

従って期待値の線形性を用いることができ、
$$ \mathbb E[X] =\mathbb E\Bigl[\sum_{k=0}^n k\,1_{\{X=k\}}\Bigr] =\sum_{k=0}^n k\,\mathbb E[1_{\{X=k\}}] $$
が成り立つ。さらに指示関数の期待値はその事象の確率に等しいから
$$ \mathbb E[1_{\{X=k\}}]=\mathbb P(\{X=k\})=\mathbb P(X=k) $$
である。ゆえに
$$ \mathbb E[X]=\sum_{k=0}^n k\,\mathbb P(X=k)\cdots① $$
が従う。
$ $
以上より、二項分布に従う確率変数$X$の期待値は有限であり、①より
$$ \begin{align} \mathbb E[X] &=\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} &&\because \mathbb P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.\\ &=\sum_{k=1}^n k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} &&\because k=0\ \text{の項は}\ 0.\\ &=\sum_{k=1}^n n\binom{n-1}{k-1}p^k(1-p)^{n-k} &&\because k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}.\\ &=np\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} &&\because p^k=p\cdot p^{k-1}.\\ &=np\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}p^{j}(1-p)^{(n-1)-j} &&\because j=k-1\ \text{とおく}.\\ &=np\,(p+(1-p))^{n-1} &&\because \text{二項定理}.\\ &=np &&\because p+(1-p)=1. \end{align} $$
を得る。
$$ \Box$$

$X$ の期待値 $\mathbb{E}[X]$ は、$X$ が可積分、すなわち
$$ \mathbb{E}[|X|]<\infty $$
が成り立つときに定義される。そこで、$\{X=k\}$は$k=0,1,\dots,n$で互いに素であるから
$$ \begin{align} \mathbb P(X\in\{0,1,\dots,n\}) &=\mathbb P\Bigl(\bigcup_{k=0}^n\{X=k\}\Bigr)\\ &=\sum_{k=0}^n\mathbb P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=(p+(1-p))^n\\ &=1 \end{align} $$
が成り立つ。従って$X$はほとんど確実に$\{0,1,\dots,n\}$に値をとる。特に$|X|\le n$がほとんど確実に成り立つ。
$n$を定数確率変数$n\cdot 1_\Omega$とみなし、両辺の期待値をとると
$$ \mathbb E[|X|]\le n\mathbb P(\Omega)=n<\infty $$
であるから、$\mathbb E[X]$は有限実数として定義される。同様に$|X|\le n$から両辺を$2$乗して
$$ 0\le X^2\le n^2\ \text{がほとんど確実に成り立つ} $$
が分かる。従って再び単調性より
$$ \mathbb E[X^2]\le \mathbb E[n^2\cdot 1_\Omega]=n^2\mathbb P(\Omega)=n^2<\infty $$
が従う。以上より$\mathbb E[X]$と$\mathbb E[X^2]$はいずれも有限である。
$ $
そこで、分散公式より
$$ \mathbb V(X)=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2 $$
で与えられる事と
$$ \mathbb E[X]=np $$
が成り立つことを用いると、残りは$\mathbb E[X^2]$を求めればよい。
$X^2=X(X-1)+X$である事を利用して
$$ \mathbb E[X^2]=\mathbb E[X(X-1)]+\mathbb E[X] $$
が成り立つ。よって$\mathbb E[X(X-1)]$を求めればよい。定義より
$$ \mathbb E[X(X-1)]=\sum_{k=0}^n k(k-1)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$
である。$k=0,1$の項は$0$なので
$$ \mathbb E[X(X-1)]=\sum_{k=2}^n k(k-1)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$
となる。ここで恒等式
$$ k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2} $$
を用いる。すると
$$ \begin{align} \mathbb E[X(X-1)] &=\sum_{k=2}^n n(n-1)\binom{n-2}{k-2}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n \binom{n-2}{k-2}p^{k-2}(1-p)^{n-k}\\ &=n(n-1)p^2\sum_{j=0}^{n-2}\binom{n-2}{j}p^{j}(1-p)^{(n-2)-j} \because j=k-2\ \text{とおく}.\\ &=n(n-1)p^2(p+(1-p))^{n-2} \because \text{二項定理}.\\ &=n(n-1)p^2 \because p+(1-p)=1. \end{align} $$
従って
$$ \mathbb E[X^2]=\mathbb E[X(X-1)]+\mathbb E[X]=n(n-1)p^2+np $$
である。よって
$$ \begin{align} \mathbb V(X) &=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2\\ &=\bigl(n(n-1)p^2+np\bigr)-(np)^2\\ &=np+n(n-1)p^2-n^2p^2\\ &=np-np^2\\ &=np(1-p). \end{align} $$
以上より$\mathbb V(X)=np(1-p)$が成り立つ。
$$ \Box$$