モーリーの定理

モーリー2
∠A=3a, ∠B=3b, ∠C=3c　とする。
∠B, ∠Cの3等分線の交点をP, Sとする。
点Pは△BCSにおける内心となる。よって、線分SPは∠Sを2等分する。
2点Q, Rをそれぞれ線分BS, CS上に
∠SPR=SPQ=30°　となるようにとると、△SPR≡△SPQである。
(∠RSP=∠QSP, SPが共通であることに注意）

すると、RP=QP, ∠QPR=60°　より、△PQRは正三角形である。
△SQRは二等辺三角形であるため、∠SQR=∠SRQ さらに、
∠SQR+∠SRQ=180°-∠QSR=180°-∠BSC=180°-(180°-(2b+2c))
=2b+2c　となるので、
∠SQR=∠SRQ=b+c となる。
ここで、3(a+b+c)=180° から、a+b+c=60°　であるから、∠SRQ=60°-a　
したがって、∠SRP=∠SRQ+∠QRP=120°-a　となる。

次に、線分BA, CA上にそれぞれBP=BT, CP=CU　となるような点T, Uをとる。すると、△BRP≡△BRT, △CQP≡△CQU　が成り立ち、
TR=RP=UQ=QP …(ⅰ)　が導かれる。

次に、∠TRQ=∠TRS+∠SRQ=∠SRP+∠SRQ=180°-2a
同様にして∠UQR=180°-2a　から、∠TRQ=∠UQR
3a=∠A$ \lt $180°　より、a$ \lt $60°, 180°-2a$ \gt $60°…(ⅱ)

ここで、次の定理が知られている（証明は簡単なので考えてみてください）。

(続きから)
よって、(ⅰ), (ⅱ)から、ナラニエンガーの定理より5点A, T, R, Q, Uは同一円周上に存在する。
またTR=RQ=QUより、これらの円周角は等しく、線分AR, AQは∠Aを3等分することが分かる。
Q.E.D.