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大学数学基礎解説
文献あり

単項イデアル整域だがユークリッド整域でないような環の例

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こんにちは、浅縹です。練習がてら記事を書いてみます、これからも書くとは思いません(気が向いたら書くかもしれないけれどそれだけの力量がなく…)
 どういう書き方が見やすいか途中までめっちゃ悩んでいたんですがどうしてもいい感じにならなくて途中から見やすいレイアウトとか考えずに書いています。最初の方も結局なにも考えていないのと同じ感じです、ぜひどうしたら見やすくなりそうか言っていただけると嬉しい…。
 つい最近ゼミでやった次の命題について、日本語で証明を書いているサイトが見当たらなかったのでちょうどいいかなあと思い書いてみます。これは余談ですが、英語だとめっちゃたくさん出てきます。
 (もし読んでくれる方で環やイデアルの定義を知らない方がいたら,イデアルについては こちら にわかりやすくまとまっています(ただ、イデアルが必ずしも「ある元の倍数の集合」そのものになっているとは限らないことに気を付けてください)。整域の定義は調べてください。)

:Z[1+192]PID().

一応PID(単項イデアル整域),ユークリッド整域を定義しておきます.

APIDAI1,AxI=x.

Ad:A{0}N.()x,yA(b0)q,rAs.t.y=xq+r(r=0d(r)<d(x)).

ユークリッド整域の写像に課されている条件は整数における除法の原理の類似ですね.ちなみにユークリッド整域ならばPIDです.これはイデアルからdの値を最も小さくする0でない元をとってきたとき,イデアルがその元から生成されることを頑張って証明すると示せます.
Z[1+192]は,その逆の反例になっています.

さて,以下,
A=Z[1+192],N:ANCR0
とします.Nについてですが,
N(a+b1+192)=a2+ab+5b2N.

では早速証明を書いていきます.まずはPIDから…の前に補題です.

単項イデアル整域

R,N:RNRPID.()x,yR{0}N(x)N(y)yxz,wRs.t.0<N(xzyw)<N(y).

補題1

I(0)R,yII{0}.xI{y,0}N(x)N(y).,z,wRxzywI.,yxzyw=0N(xzyw)N(y).yxI=y.RPID.

:Z[1+192]PID.

x,yAN(x)N(y)yxz,wAs.t.0<N(xzyw)<1.1APID.

yx,xy=a+b19c(a,b,cZ,c2,gcd(a,b,c)=1).

(1)c5.
d,e,f,q,rZ:
{ae+bd+cf=1ad19be=cq+r(|r|<|c|2)
gcd(a,b,c)=1d,e,f,q,rq/.z:=d+e19,w:=qf19(A)
yxzw=a+b19c(d+e19)q+f19=ad19becq+(ae+bd+cf)19c=r+19c.N(r+19c)=r2+19c2>0.
c6:r2+19c214+19c214+1936<1.
c=5:r2+19c24+1925<1.
c5,z,w0<N(yxzw)<1.

(2)c=2の時.
a,b.(a,bgcd(a,b,c)1,a,byx.())z:=1,w:=a1+b192(A())
yxzw=12.
0<N(12)=14<1.a,ba+b192A.a+b192=ab2+b1+192.ab2Z.

(3)c=3の時.
N(a+b19)=a2+19b20mod3.()
a2+19b2=3q+r(r=1,2)z:=ab19,w:=q(A)
yxzw=a+b193(ab19)q=r3.
r=1,2.
N(a+b19)0mod3a+b193.

(4)c=4.
a,b.ab:a2+19b2a2b20mod4.a2+19b2=4q+r(r=1,2,3)z:=ab19,w:=q(A)
yxzw=a+b194(ab19)q=r4.
r=1,2,3.
ab:a2+19b2a2+3b20mod8.a2+19b2=8q+r(r=1,,7)z:=ab192,w:=q(A())
yxzw=a+b194ab192q=r8.
r=1,,7.
(1)c=2xA.

,A=Z[1+192]PID.

c6..

ユークリッド整域

こちらも補題から示していきます.

Rd:R{0}N,xd(x)=min{d(y)yRR×}.:
R/x0R.

補題2

zAz=xq+r,r=0d(r)<d(x).xr0rR×.armodx.R/aR0.

A±1.

補題3

a+b1+1192AN(a+b1+192)=1.b0
N(a+b1+192)=(a+b2)2+19b24194>4.
,A0±1.

xAN(x)2,3.N(x)=4x=±2,N(x)=9x=±3

補題4

3,xAN(x)=2,3xZ.,xZN(x)=x22,3.N(x)2,3.N(x)=4:3xZx=±2.N(x)=9:x=a+b1+192,b2N(x)9.b=1,a2+a+1=9.mod3a1.mod9a1,4,7.b=0x=±3.

:A.

:.A.A/x={1,0,1}xA,.(1)x=2,3.(2)x=2,3,1+192A/x1,0,1.(3)A±1.
(1)x=2,3.R/x={1,0,1},20,±1.10,2030i.e.2x3x.2x:x2N(x)N(2)=4.N(x)=1,2,4,x4N(x)=4,x=±2.2=2x=2.3x:x=±3.x=3.(2)x=2,3,1+192A/x1,0,1.x=2:A/2={0,1}0,11+192.
01+192mod2a,bZs.t.2(a+b1+192)=1+192.
2a+b=12a,b.11+192mod201+192mod2..x=2.x=3:01+192mod3a,bZs.t.3(a+b1+192)=1+192.3b2=12,a,b.±11+192mod3.x=3.(3)A±1.(2)A2.
A=Z[1+192].

これで一番初めに書いた命題が示されました!!!(果たしてここまで読んでくださった方はいるのか…練習なので需要ない話題を書こうと思ったら想定よりずっと長くなってしまいました。練習にはなったのでいいかな…)
 疲れたけど書いていて結構楽しかったので、面白いと思った話題があればまた書こうと思います。では、ここまで読んでくださった方(がいれば)、本当にありがとうございました!

参考文献

投稿日:20201111
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