単項イデアル整域だがユークリッド整域でないような環の例

$I(\neq\langle0\rangle)をRのイデアル,y\in IをI\backslash\{0\}の要素で最小のノルムを持つ元とする.\\ x∈I\backslash\{y,0\}をとると$$$N(x)\geq N(y).$$$ また,イデアルの定義から$$$\forall z,w\in R\quad xz-yw\in I.$$$ よって,yの取り方から$$$\quad xz-yw=0\quad又は\quad N(xz-yw)\geq N(y).$$$ 仮定よりy\mid xでなければならず$$$ I=\langle y\rangle. $$$よってRはPID.$

$ x,y\in AがN(x)\geq N(y)かつy\nmid x\\ \displaystyle\Rightarrow \exists z,w\in A \quad s.t.\quad 0< N(\frac{xz}{y}-w)< 1 \quadと示す.\\ これを示せば補題1よりAはPID. $

$y\nmid xの時,有理化して$$$ \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{a+b\sqrt{-19}}{c} (\exists a,b,c\in\mathbb{Z},c\geq2,gcd(a,b,c)=1).$$

(1)$c\geq5の時.$
$ d,e,f,q,r\in\bf{Z}を次のようにとる:$
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ae+bd+cf=1 \\ ad-19be=cq+r \\ (\displaystyle|r|\lt\frac{|c|}{2}) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$ gcd(a,b,c)=1よりこのようなd,e,fは存在し,q,rは余りの絶対値を最小とするようにqで割った商/余りをとればよい.\\ z:=d+e\sqrt{-19},w:=q-f\sqrt{-19}(\in A)として$
$$ \begin{eqnarray} \frac{y}{x}\cdot z-w&=&\frac{a+b\sqrt{-19}}{c}(d+e\sqrt{-19})-q+f\sqrt{-19}\\ &=&\frac{ad-19be-cq+(ae+bd+cf)\sqrt{-19}}{c}\\ &=&\frac{r+\sqrt{-19}}{c}.\\ \end{eqnarray} $$$ \displaystyle N(\frac{r+\sqrt{-19}}{c})=\frac{r^2+19}{c^2}\gt0.$
$\displaystyle c\geq6:\frac{r^2+19}{c^2}\leq\frac{1}{4}+\frac{19}{c^2}\leq\frac{1}{4}+\frac{19}{36}\lt1.$
$\displaystyle c=5:\frac{r^2+19}{c^2}\leq\frac{4+19}{25}\lt1.$
$よってc\geq5の時,z,wを適切に取れば$$$\displaystyle\quad0\lt N(\frac{y}{x}\cdot z-w)\lt1.$$

(2)$c=2$の時.
$a,bの偶奇は異なる.(∵a,bがともに偶数ならばgcd(a,b,c)\neq1,a,bがともに奇数ならばy\mid x.(※))\\ \displaystyle z:=1,w:=\frac{a-1+b\sqrt{-19}}{2}(\in A(※))として$
$$\begin{eqnarray} \frac{y}{x}\cdot z-w&=&\frac{1}{2}. \end{eqnarray}$$
$よって$$$0\lt N(\displaystyle\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\lt 1.$$$ ※a,bの偶奇が等しい時\displaystyle\frac{a+b\sqrt{-19}}{2}\in A.\\ \quad∵\displaystyle\frac{a+b\sqrt{-19}}{2}=\frac{a-b}{2}+b\cdot\frac{1+\sqrt{-19}}{2}.\\ \quad\quad \displaystyle\frac{a-b}{2}\in\mathbb{Z}であることからわかる. $

(3)$c=3$の時.
$N(a+b\sqrt{-19})=a^2+19b^2\not\equiv0\mod3.(※)$
$a^2+19b^2=3q+r(r=1,2)に対しz:=a-b\sqrt{-19},w:=q(\in A)として$
$$\begin{eqnarray} \frac{y}{x}\cdot z-w&=&\frac{a+b\sqrt{-19}}{3}\cdot(a-b\sqrt{-19})-q\\ &=&\frac{r}{3}.\\ \end{eqnarray}$$
$r=1,2より成立.$
$※N(a+b\sqrt{-19})\equiv0\mod3ならばa+b\sqrt{-19}は3で割れる.$

(4)$c=4の時.$
$a,bがともに偶数であることはない.\\ aとbの偶奇が異なるとき:\\ \quad a^2+19b^2\equiv a^2-b^2\not\equiv0\mod4.\\ \quad a^2+19b^2=4q+r(r=1,2,3)に対しz:=a-b\sqrt{-19},w:=q(\in A)として$
$$\begin{eqnarray} \quad\frac{y}{x}\cdot z-w&=&\frac{a+b\sqrt{-19}}{4}\cdot(a-b\sqrt{-19})-q\\ &=&\frac{r}{4}.\\ \end{eqnarray}$$
$\quad r=1,2,3より成立.$
$aとbがともに奇数の時:\\ \quad a^2+19b^2\equiv a^2+3b^2\not\equiv0\mod8.\\ \quad\,\,\displaystyle a^2+19b^2=8q+r(r=1,\ldots,7)に対しz:=\frac{a-b\sqrt{-19}}{2},w:=q(\in A(※))として$
$$\begin{eqnarray} \frac{y}{x}\cdot z-w&=&\frac{a+b\sqrt{-19}}{4}\cdot\frac{a-b\sqrt{-19}}{2}-q\\ &=&\frac{r}{8}.\\ \end{eqnarray}$$
$\quad r=1,\ldots,7より成立.$
※$(1)c=2 の場合と全く同様に考えればx\in Aである.$
$\,\\\,$

$以上により,A=\displaystyle\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]はPIDである.$

$ \forall z\in Aに対して\\ z=xq+rとするとユークリッド整域の定義より,r=0\quad又は\quad d(r)\lt d(x).\\ xの取り方より $$$r\neq0\Rightarrow r\in R^×.$$$この時$$$ a\equiv r\mod x. $$$ よってR/\langle a\rangleはRの単元と0のみからなる体. $

$\displaystyle a+b\cdot\frac{1+1\sqrt{-19}}{2}\in Aが単元\Rightarrow N(a+b\cdot\frac{1+\sqrt{-19}}{2})=1.\\ b\neq0とすると$
$$ N(a+b\cdot\frac{1+\sqrt{-19}}{2})=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{19b^2}{4}\geq\frac{19}{4}\gt4. $$
$ よって,Aの単元は虚部が0ゆえ\pm1のみ. $

$ 補題3の証明を見れば,x\in Aに対し$$$N(x)=2,3⇒x\in\mathbb{Z}.$$$ \quadしかし,$$$\forall x\in\mathbb{Z}\quad N(x)=x^2\neq2,3.$$$ \quadよって$$$N(x)\neq2,3.$$$ N(x)=4の時:\\ \quad補題3よりx\in \mathbb{Z}ゆえ$$$x=\pm2.$$$ N(x)=9の時:\\ \quad \displaystyle x=a+b\cdot\frac{1+\sqrt{-19}}{2}とした時,b\geq2では$$$N(x)\neq9.$$$ \quad b=1の時,$$$a^2+a+1=9.$$$\mod3を見ればa\equiv1.\mod9でa\equiv1,4,7を見ればこれは不成立.\\ \quad よってb=0より$$$x=\pm3. $$

$ 方針:\\ 背理法を用います.Aがユークリッド整域だと仮定します.\\ この時A/\langle x\rangle=\{-1,0,1\}なるx\in Aがとれるので,これについて議論します.\\ (1)x=2,3.\\ (2)x=2,3どちらの場合でも,\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2}はA/\langle x\rangleにおいて-1,0,1の何れとも等しくない.\\ (3)Aの単元は\pm1のみであったことに矛盾. $
$ \,\\ (1)x=2,3.\\ R/\langle x\rangle=\{-1,0,1\}より,2\equiv0,\pm1の何れかが成り立つ.\\ よって1\not\equiv0に気を付けると,$$$\,2\equiv0\,又は\,3\equiv0\quad i.e.\quad2\in\langle x\rangle\,又は\,3\in\langle x\rangle.$$$ 2\in\langle x\rangleの時:\\ \quad x\mid 2より$$$N(x)\mid N(2)=4.$$$ \quad N(x)=1,2,4の何れかで,xは非単元としていることと補題4よりN(x)=4で,$$$x=\pm2.$$$ \quad\langle2\rangle=\langle-2\rangleよりx=2として良い.\\ 3\in \langle x\rangleの時:\\ \quad上と同様にしてx=\pm3.\quad x=3として良い.\\ \,\\ (2)x=2,3どちらの場合でも,\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2}はA/\langle x\rangleにおいて-1,0,1の何れとも等しくない.\\ x=2の時:\\ \quad A/\langle 2\rangle=\{0,1\}より0,1と\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2}が等しくないと示す.$
$$ 0\equiv\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\mod2$$$$ \Leftrightarrow\exists a,b\in\mathbb{Z}\quad s.t.\quad2\cdot(a+b\cdot\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2})=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}. $$
$ \quad 実部を見ると2a+b=\displaystyle\frac{1}{2}となりこのようなa,bは存在しない.$$$ \quad1\equiv\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\mod2$$$$ \quad \Leftrightarrow 0\equiv\displaystyle\frac{-1+\sqrt{-19}}{2}\mod2.$$$ \quad 先程と同様にしてこれも不成立.\\ \quad よってx=2の時示された.\\ x=3の時:$$$ \quad 0\equiv\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\mod3$$$$ \quad \Leftrightarrow\displaystyle\exists a,b\in\mathbb{Z}\quad s.t.\quad 3\cdot(a+b\cdot\frac{1+\sqrt{-19}}{2})=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}.$$$ \quad 虚部を見ると\displaystyle\frac{3b}{2}=\frac{1}{2}となり,このようなa,bは存在しない.\\ \quad同様に\pm1\not\equiv\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\mod3. \quadよってx=3の時も示された.\\ \,\\ (3)Aの単元は\pm1のみだったことに矛盾.\\ これは(2)の結果がAはユークリッド整域であるという仮定と補題2から従う.\\ \quad $
$ 以上によりA=\mathbb{Z}\left[\displaystyle\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]はユークリッド整域では有り得ない. $