単項イデアル整域だがユークリッド整域でないような環の例

$$\begin{gathered} I(\ne ⟨0⟩)をRのイデアル,y\in IをI\mathrm{\setminus }\{0\}の要素で最小のノルムを持つ元とする. \\ x\in I\mathrm{\setminus }\{y,0\}をとると \end{gathered}$$$$N(x)\ge N(y).$$$また,イデアルの定義から$$$\mathrm{\forall }z,w\in Rxz-yw\in I.$$$よって,yの取り方から$$$xz-yw=0又はN(xz-yw)\ge N(y).$$$仮定よりy\mid xでなければならず$$$I=⟨y⟩.$$$よってRはPID.$

$$\begin{gathered} x,y\in AがN(x)\ge N(y)かつy\nmid x \\ {\displaystyle \Rightarrow \mathrm{\exists }z,w\in As.t.0<N(\frac{xz}{y}-w)<1と示す.} \\ これを示せば補題1よりAはPID. \end{gathered}$$

$y\nmid xの時,有理化して$$${\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{a+b\sqrt{-19}}{c}(\mathrm{\exists }a,b,c\in \mathbb{Z},c\ge 2,gcd(a,b,c)=1).}$$

(1)$c\ge 5の時.$
$d,e,f,q,r\in \mathbf{Z}\mathbf{を}\mathbf{次}\mathbf{の}\mathbf{よ}\mathbf{う}\mathbf{に}\mathbf{と}\mathbf{る}:$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}ae+bd+cf=1\\ ad-19be=cq+r\\ ({\displaystyle |r|<\frac{|c|}{2})}\end{array}\end{array}$$
$$\begin{gathered} gcd(a,b,c)=1よりこのようなd,e,fは存在し,q,rは余りの絶対値を最小とするようにqで割った商/余りをとればよい. \\ z:=d+e\sqrt{-19},w:=q-f\sqrt{-19}(\in A)として \end{gathered}$$
$$\begin{array}{rcl}\frac{y}{x}\cdot z-w& =& \frac{a+b\sqrt{-19}}{c}(d+e\sqrt{-19})-q+f\sqrt{-19}\\ & =& \frac{ad-19be-cq+(ae+bd+cf)\sqrt{-19}}{c}\\ & =& \frac{r+\sqrt{-19}}{c}.\end{array}$$${\displaystyle N(\frac{r+\sqrt{-19}}{c})=\frac{r^2+19}{c^2}>0.}$
${\displaystyle c\ge 6:\frac{r^2+19}{c^2}\le \frac{1}{4}+\frac{19}{c^2}\le \frac{1}{4}+\frac{19}{36}<1.}$
${\displaystyle c=5:\frac{r^2+19}{c^2}\le \frac{4+19}{25}<1.}$
$よってc\ge 5の時,z,wを適切に取れば$$${\displaystyle 0<N(\frac{y}{x}\cdot z-w)<1.}$$

(2)$c=2$の時.
$$\begin{gathered} a,bの偶奇は異なる.(\because a,bがともに偶数ならばgcd(a,b,c)\ne 1,a,bがともに奇数ならばy\mid x.(※)) \\ {\displaystyle z:=1,w:=\frac{a-1+b\sqrt{-19}}{2}(\in A(※))として} \end{gathered}$$
$$\begin{array}{rcl}\frac{y}{x}\cdot z-w& =& \frac{1}{2}.\end{array}$$
$よって$$$0<N({\displaystyle \frac{1}{2})=\frac{1}{4}<1.}$$$$\begin{gathered} ※a,bの偶奇が等しい時{\displaystyle \frac{a+b\sqrt{-19}}{2}\in A.} \\ \because {\displaystyle \frac{a+b\sqrt{-19}}{2}=\frac{a-b}{2}+b\cdot \frac{1+\sqrt{-19}}{2}.} \\ {\displaystyle \frac{a-b}{2}\in \mathbb{Z}であることからわかる.} \end{gathered}$$

(3)$c=3$の時.
$N(a+b\sqrt{-19})=a^2+19b^2\not\equiv 0\mathrm{mod}3.(※)$
$a^2+19b^2=3q+r(r=1,2)に対しz:=a-b\sqrt{-19},w:=q(\in A)として$
$$\begin{array}{rcl}\frac{y}{x}\cdot z-w& =& \frac{a+b\sqrt{-19}}{3}\cdot (a-b\sqrt{-19})-q\\ & =& \frac{r}{3}.\end{array}$$
$r=1,2より成立.$
$※N(a+b\sqrt{-19})\equiv 0\mathrm{mod}3ならばa+b\sqrt{-19}は3で割れる.$

(4)$c=4の時.$
$$\begin{gathered} a,bがともに偶数であることはない. \\ aとbの偶奇が異なるとき: \\ {a}^2+19b^2\equiv a^2-b^2\not\equiv 0\mathrm{mod}4. \\ {a}^2+19b^2=4q+r(r=1,2,3)に対しz:=a-b\sqrt{-19},w:=q(\in A)として \end{gathered}$$
$$\begin{array}{rcl}\frac{y}{x}\cdot z-w& =& \frac{a+b\sqrt{-19}}{4}\cdot (a-b\sqrt{-19})-q\\ & =& \frac{r}{4}.\end{array}$$
$r=1,2,3より成立.$
$$\begin{gathered} aとbがともに奇数の時: \\ {a}^2+19b^2\equiv a^2+3b^2\not\equiv 0\mathrm{mod}8. \\ {\displaystyle a^2+19b^2=8q+r(r=1,\dots ,7)に対しz:=\frac{a-b\sqrt{-19}}{2},w:=q(\in A(※))として} \end{gathered}$$
$$\begin{array}{rcl}\frac{y}{x}\cdot z-w& =& \frac{a+b\sqrt{-19}}{4}\cdot \frac{a-b\sqrt{-19}}{2}-q\\ & =& \frac{r}{8}.\end{array}$$
$r=1,\dots ,7より成立.$
※$(1)c=2の場合と全く同様に考えればx\in Aである.$
$$

$以上により,A={\displaystyle \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]はPIDである.}$

$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }z\in Aに対して \\ z=xq+rとするとユークリッド整域の定義より,r=0又はd(r)<d(x). \\ xの取り方より \end{gathered}$$$$r\ne 0\Rightarrow r\in R^{\times }.$$$この時$$$a\equiv r\mathrm{mod}x.$$$よってR/⟨a⟩はRの単元と0のみからなる体.$

$$\begin{gathered} {\displaystyle a+b\cdot \frac{1+1\sqrt{-19}}{2}\in Aが単元\Rightarrow N(a+b\cdot \frac{1+\sqrt{-19}}{2})=1.} \\ b\ne 0とすると \end{gathered}$$
$$N(a+b\cdot \frac{1+\sqrt{-19}}{2})=(a+\frac{b}{2}{)}^2+\frac{19b^2}{4}\ge \frac{19}{4}>4.$$
$よって,Aの単元は虚部が0ゆえ\pm 1のみ.$

$補題3の証明を見れば,x\in Aに対し$$$N(x)=2,3\Rightarrow x\in \mathbb{Z}.$$$しかし,$$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z}N(x)=x^2\ne 2,3.$$$よって$$$N(x)\ne 2,3.$$$$\begin{gathered} N(x)=4の時: \\ 補題3よりx\in \mathbb{Z}ゆえ \end{gathered}$$$$x=\pm 2.$$$$\begin{gathered} N(x)=9の時: \\ {\displaystyle x=a+b\cdot \frac{1+\sqrt{-19}}{2}とした時,b\ge 2では} \end{gathered}$$$$N(x)\ne 9.$$$b=1の時,$$$a^2+a+1=9.$$$$\begin{gathered} \mathrm{mod}3を見ればa\equiv 1.\mathrm{mod}9でa\equiv 1,4,7を見ればこれは不成立. \\ よってb=0より \end{gathered}$$$$x=\pm 3.$$

$$\begin{gathered} 方針: \\ 背理法を用います.Aがユークリッド整域だと仮定します. \\ この時A/⟨x⟩=\{-1,0,1\}なるx\in Aがとれるので,これについて議論します. \\ (1)x=2,3. \\ (2)x=2,3どちらの場合でも,{\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2}はA/⟨x⟩において-1,0,1の何れとも等しくない.} \\ (3)Aの単元は\pm 1のみであったことに矛盾. \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} (1)x=2,3. \\ R/⟨x⟩=\{-1,0,1\}より,2\equiv 0,\pm 1の何れかが成り立つ. \\ よって1\not\equiv 0に気を付けると, \end{gathered}$$$$2\equiv 0又は3\equiv 0i.e.2\in ⟨x⟩又は3\in ⟨x⟩.$$$$\begin{gathered} 2\in ⟨x⟩の時: \\ x\mid 2より \end{gathered}$$$$N(x)\mid N(2)=4.$$$N(x)=1,2,4の何れかで,xは非単元としていることと補題4よりN(x)=4で,$$$x=\pm 2.$$$$\begin{gathered} ⟨2⟩=⟨-2⟩よりx=2として良い. \\ 3\in ⟨x⟩の時: \\ 上と同様にしてx=\pm 3.x=3として良い. \\ (2)x=2,3どちらの場合でも,{\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2}はA/⟨x⟩において-1,0,1の何れとも等しくない.} \\ x=2の時: \\ A/⟨2⟩=\{0,1\}より0,1と{\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2}が等しくないと示す.} \end{gathered}$$
$$0\equiv {\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2}\mathrm{mod}2}$$$$\iff \mathrm{\exists }a,b\in \mathbb{Z}s.t.2\cdot (a+b\cdot {\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2})=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}.}$$
$実部を見ると2a+b={\displaystyle \frac{1}{2}となりこのようなa,bは存在しない.}$$$1\equiv {\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2}\mathrm{mod}2}$$$$\iff 0\equiv {\displaystyle \frac{-1+\sqrt{-19}}{2}\mathrm{mod}2.}$$$$\begin{gathered} 先程と同様にしてこれも不成立. \\ よってx=2の時示された. \\ x=3の時: \end{gathered}$$$$0\equiv {\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2}\mathrm{mod}3}$$$$\iff {\displaystyle \mathrm{\exists }a,b\in \mathbb{Z}s.t.3\cdot (a+b\cdot \frac{1+\sqrt{-19}}{2})=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}.}$$$$\begin{gathered} 虚部を見ると{\displaystyle \frac{3b}{2}=\frac{1}{2}となり,このようなa,bは存在しない.} \\ 同様に\pm 1\not\equiv {\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2}\mathrm{mod}3.よってx=3の時も示された.} \\ (3)Aの単元は\pm 1のみだったことに矛盾. \\ これは(2)の結果がAはユークリッド整域であるという仮定と補題2から従う. \end{gathered}$$
$以上によりA=\mathbb{Z}\left[{\displaystyle \frac{1+\sqrt{-19}}{2}}\right]はユークリッド整域では有り得ない.$