この問題の答えです。
問題
$A$を$2 \times 2$実行列で$|A|=1$とし、$E$を$2 \times 2$単位行列とします。関数$f(A)=|A - E|$がとりうる値の範囲(値域)を答えてください。
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$A(x)\;(x:実数)$として例えば、
$$
A(x)=
\begin{vmatrix}
x & x-1 \\
x+1 & x
\end{vmatrix}
$$
を取ります($|A(x)|=1$となっています)。
これを用いて$f(A(x))$を計算すると、
\begin{align*}
f(A(x)) &= |A(x) - E| \\
&=
\begin{vmatrix}
x-1 & x-1 \\
x+1 & x-1
\end{vmatrix} \\
&=(x-1)^2 - (x-1)(x+1) \\
&=-2x + 2
\end{align*}
となり、$x$は自由に実数を取ることができるので、f(A(x))の値域は実数全体$(\mathbb{R})$となります。