とある半群の構造決定

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この記事は, $@ b u t a_k i m c h i_$ 氏がツイッターに投稿した問題( 元ツイート )の解答となります. 記事を読む前に一度自分で考えてみると良いかもしれません。

半群とは

半群

半群とは, 集合 $X$ と写像 $* : X \times X \to X$ の組 $(X, *)$ であって,
$\forall a, b, c \in X; (a * b) * c = a * (b * c)$
をみたすもの.
半群 $(X, *)$ のことを単に $X$ と書いて表す.

以下, $a * b$ のことを単に $a b$ と書いて表す.

$n (\geq 1)$ 個の $a$ を演算した $a * \dots * a$ のことを, $a^{n}$ と書く.

準同型

$X, Y$ を半群とする.
写像 $f : X \to Y$ は,
$\forall a, b \in X; f (a b) = f (a) f (b)$
を満たすとき準同型という.

半群の圏

対象を半群とし, 射を準同型とすることで, 半群の圏 $S e m i G r p$ が得られる.

準同型が全単射であることと, 圏 $S e m i G r p$ の同型射であることは同値である. すなわち, 忘却関手 $S e m i G r p \to S e t$ は同型を反映する. ここで $S e t$ は集合の圏である.

半群の積

$X, Y$ を半群とする. 積集合 $X \times Y$ は,
$(x, y) * (x^{'}, y^{'}) := (x x^{'}, y y^{'})$
と演算を定めることで半群になる.

上の状況で, 射影 $X \times Y \to X, X \times Y \to Y$ は準同型であり, $X \times Y$ は $S e m i G r p$ における $X$ と $Y$ の圏論的積となる.

半群 $X$ に対して, 次は同値.
(1) $\forall a, b \in X [a b = b a \Rightarrow a = b]$
(2) $\forall a, b \in X; a b a = a$

\Rightarrow

任意の $a \in X$ に対して, $a^{2} a = a a^{2}$ であることから $a^{2} = a$ が成り立つ. すると任意の $a, b \in X$ に対して, $a (a b a) = a b a = (a b a) a$ より $a b a = a$ を得る.

\Rightarrow

$a b = b a$ となる任意の $a, b \in X$ に対して, $a = a b a = a b (a b a) = b (a a a) b = b a b = b$ となる.

純非可換半群

半群 $X$ は, 定理2の同値な条件を満たすとき純非可換であるという.

$X$ を純非可換半群とする. 任意の $a \in X$ と任意の $n \geq 1$ に対し, $a^{n} = a$ となる.

$a^{n} a = a a^{n}$ より, $a^{n} = a$ となる.

$X, Y$ が純非可換半群なら, 半群 $X \times Y$ も純非可換となる.

以降, 純非可換半群を同型を除き分類することを目指す.

純非可換半群の構造決定

自明な純非可換半群

集合 $S$ に対して,
$\forall a, b \in S; a * b := a$
と演算を定めると, $S$ は純非可換半群となる. この純非可換半群を $L (S)$ と書く. 同様に
$\forall a, b \in S; a * b := b$
とすることでも純非可換半群が得られる. これを $R (S)$ と書く.

純非可換半群 $X$ は, $\forall a, b \in X; a b = a$ (resp. $a b = b$ )を満たすとき, 自明な左構造をもつ(resp.自明な右構造を持つ)という.

以下, $X$ を純非可換半群とする.

$X$ 上の2項関係 $\sim_{L}, \sim_{R}$ を次で定義する.
$a \sim_{L} b \overset{d e f}{\Leftrightarrow} a b = a$
$a \sim_{R} b \overset{d e f}{\Leftrightarrow} a b = b$

$\sim_{L}, \sim_{R}$ は $X$ 上の同値関係となる.

$\sim_{L}$ についてのみ示す. 反射律は命題2より従う. $a b = a$ なら $b a = b (a b) = b$ より, 対称律が従う. $a b = a, b c = b$ なら $a c = (a b) c = a b = a$ より, 推移律が従う.

$a \in X$ に対し, $\sim_{L}$ による同値類を $[a]_{L}$ , $\sim_{R}$ による同値類を $[a]_{R}$ と書くことにする.

任意の $a, b \in X$ に対し $a \sim_{R} a b \sim_{L} b$ が成り立つ.

商集合 $X / \sim_{L}$ は,
$[a]_{L} * [b]_{L} := [a b]_{L}$
と演算を定義することで純非可換半群になる. 同様の主張が $X / \sim_{R}$ についても成り立つ.

まず, $*$ がwell-definedであることを示す. $a \sim_{L} a^{'}, b \sim_{L} b^{'}$ とする. $a^{'} b^{'} \sim_{L} b^{'} \sim_{L} b$ より $a^{'} b^{'} \sim_{L} b$ となるので, $a (b (a^{'} b^{'})) = a b$ . すなわち $a b \sim_{L} a^{'} b^{'}$ を得る. よって, $*$ はwell-definedである.

すると, $([a]_{L} * [b]_{L}) * [c]_{L} = [a b]_{L} * [c]_{L} = [a b c]_{L} = [a]_{L} * [b c]_{L} = [a]_{L} * ([b]_{L} * [c]_{L})$ が成り立つので $X / \sim_{L}$ は半群であり, 更に $[a]_{L} [b]_{L} [a]_{L} = [a b a]_{L} = [a]_{L}$ より純非可換となる.

$X / \sim_{L}$ (resp. $X / \sim_{R}$ )は自明な右(resp.左)構造を持つ.

$a b \sim_{L} b$ ゆえ, $[a]_{L} [b]_{L} = [a b]_{L} = [b]_{L}$ である.

半群としての同型 $X ≅ (X / \sim_{L}) \times (X / \sim_{R})$ がある. すなわち, 圏 $S e m i G r p$ における同型射が存在する.

$a \mapsto ([a]_{L}, [a]_{R})$ により写像 $φ : X \to (X / \sim_{L}) \times (X / \sim_{R})$ を定める. $φ$ は明らかに準同型である. $φ (a) = φ (b)$ なら, $[a]_{L} = [b]_{L}$ かつ $[a]_{R} = [b]_{R}$ , すなわち $a \sim_{L} b$ かつ $a \sim_{R} b$ であり, $a = a b = b$ となる. よって, $φ$ は単射である. 更に, $([a]_{L}, [b]_{R}) = ([b a]_{L}, [b a]_{R}) = φ (b a)$ より $φ$ は全射でもある.

これで, $X$ の構造は完全に決定された.

純非可換半群の準同型

純非可換半群 $X, Y$ が自明な左構造を持つとする. このとき, 任意の写像 $X \to Y$ は準同型になる. $X, Y$ が自明な右構造を持つ場合も, 同様の主張が成り立つ.

純非可換半群の圏

純非可換半群の成す $S e m i G r p$ の充満部分圏を, $C$ と書く.

$S e t$ から空集合を除いた圏を $S e t^{*}$ と書く.
$C$ から空な半群を除いた圏を $C^{*}$ と書く.

関手 $F : S e t^{*} \times S e t^{*} \to C^{*}$ を次で定義する.
$F (X, Y) := L (X) \times R (Y)$
$F (f, g) := f \times g$
ここで, $X, Y$ は集合, $f, g$ は写像である.

$X, Y, Z$ を集合とする. $Y \neq \emptyset$ なら, 自然な全単射
${H o m}_{C} (L (X) \times R (Y), L (Z)) ≅ {H o m}_{C} (L (X), L (Z))$
がある.
$X, Y, Z$ を集合とする. $X \neq \emptyset$ なら, 自然な全単射
${H o m}_{C} (L (X) \times R (Y), R (Z)) ≅ {H o m}_{C} (R (X), R (Z))$
がある.

1のみ示す. 射 $L (X) \to L (Z)$ が与えられると, 射影との合成によって射 $L (X) \times R (Y) \to L (Z)$ が得られる. 逆に射 $f : L (X) \times R (Y) \to L (Z)$ を与えると,
$y_{0} \in Y$ をとり, $g : L (X) ∋ x \mapsto f (x, y_{0}) \in L (Z)$ と定めることで, 射 $L (X) \to L (Z)$ を得る.
任意の $x \in X, y_{0}, y_{1} \in Y$ に対し
$f (x, y_{0}) = f (x, y_{0}) f (x, y_{1}) = f (x x, y_{0} y_{1}) = f (x, y_{1})$
となることから, これらは互いに逆対応になっている.

圏同値 $S e t^{*} \times S e t^{*} ≃ C^{*}$ がある.

関手 $F$ が圏同値を与えることを示す. 命題9と定理10より, $F$ は本質的全射である. 任意の $X_{0}, Y_{0}, X_{1}, Y_{1} \in S e t^{*}$ に対し
${H o m}_{C} (F (X_{0}, Y_{0}), F (X_{1}, Y_{1})) = {H o m}_{C} (F (X_{0}, Y_{0}), L (X_{1}) \times R (Y_{1}))$
$≅ {H o m}_{C} (F (X_{0}, Y_{0}), L (X_{1})) \times {H o m}_{C} (F (X_{0}, Y_{0}), R (Y_{1}))$
$= {H o m}_{C} (L (X_{0}) \times R (Y_{0}), L (X_{1})) \times {H o m}_{C} (L (X_{0}) \times R (Y_{0}), R (Y_{1}))$
$≅ {H o m}_{C} (L (X_{0}), L (X_{1})) \times {H o m}_{C} (R (Y_{0}), R (Y_{1}))$
$≅ {H o m}_{S e t} (X_{0}, X_{1}) \times {H o m}_{S e t} (R (Y_{0}), R (Y_{1}))$
となる. 最後の同型は補題11を用いた. したがって, $F$ は忠実充満である.

これで, 純非可換半群の間の準同型が完全に決定された.
系として次を得る.

純非可換半群の分類定理

任意の純非可換半群は, 次のいずれかと同型である.
(1) 空半群
(2) 基数 $α, β \neq 0$ に対する $L (α) \times R (β)$
更に, (2)の場合の $α, β$ は一意的である. すなわち,
$L (α) \times R (β) ≅ L (α^{'}) \times R (β^{'})$
ならば $α = α^{'}, β = β^{'}$ となる.

後半の主張は, 圏同値 $F$ が同型を反映することから従う.

投稿日：2020年11月11日

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