とある半群の構造決定

任意の$a\in X$に対して, $a^2a=aa^2$であることから$a^2=a$が成り立つ. すると任意の$a,b\in X$に対して, $a(aba)=aba=(aba)a$より$aba=a$を得る.

$ab=ba$となる任意の$a,b\in X$に対して, $a=aba=ab(aba)=b(aaa)b=bab=b$となる.

$a^na=aa^n$より, $a^n=a$となる.

$\sim_L$についてのみ示す. 反射律は命題2より従う. $ab=a$なら$ba=b(ab)=b$より, 対称律が従う. $ab=a,bc=b$なら$ac=(ab)c=ab=a$より, 推移律が従う.

まず, $\ast$がwell-definedであることを示す. $a\sim_La',~b\sim_Lb'$とする. $a'b'\sim_Lb'\sim_Lb$より$a'b'\sim_Lb$となるので, $a(b(a'b'))=ab$. すなわち$ab\sim_La'b'$を得る. よって, $\ast$はwell-definedである.

すると, $([a]_L\ast[b]_L)\ast[c]_L=[ab]_L\ast[c]_L=[abc]_L=[a]_L\ast[bc]_L=[a]_L\ast([b]_L\ast[c]_L)$が成り立つので$X/\sim_L$は半群であり, 更に$[a]_L[b]_L[a]_L=[aba]_L=[a]_L$より純非可換となる.

$ab\sim_Lb$ゆえ, $[a]_L[b]_L=[ab]_L=[b]_L$である.

$a\mapsto ([a]_L,[a]_R)$により写像$\varphi:X\rightarrow (X/\sim_L)\times (X/\sim_R)$を定める. $\varphi$は明らかに準同型である. $\varphi(a)=\varphi(b)$なら, $[a]_L=[b]_L$かつ$[a]_R=[b]_R$, すなわち$a\sim_Lb$かつ$a\sim_Rb$であり, $a=ab=b$となる. よって, $\varphi$は単射である. 更に, $([a]_L,[b]_R)=([ba]_L,[ba]_R)=\varphi(ba)$より$\varphi$は全射でもある.

1のみ示す. 射$L(X)\rightarrow L(Z)$が与えられると, 射影との合成によって射$L(X)\times R(Y)\rightarrow L(Z)$が得られる. 逆に射$f:L(X)\times R(Y)\rightarrow L(Z)$を与えると,
$y_0\in Y$をとり, $g:L(X)\ni x\mapsto f(x,y_0)\in L(Z)$と定めることで, 射$L(X)\rightarrow L(Z)$を得る.
任意の$x\in X,y_0,y_1\in Y$に対し
$$ f(x,y_0)=f(x,y_0)f(x,y_1)=f(xx,y_0y_1)=f(x,y_1) $$
となることから, これらは互いに逆対応になっている.

関手$F$が圏同値を与えることを示す. 命題9と定理10より, $F$は本質的全射である. 任意の$X_0,Y_0,X_1,Y_1\in{\rm Set^*}$に対し
$$ {\rm Hom}_{\mathscr{C}}(F(X_0,Y_0),F(X_1,Y_1))={\rm Hom}_{\mathscr{C}}(F(X_0,Y_0),L(X_1)\times R(Y_1)) $$
$$ \cong {\rm Hom}_{\mathscr{C}}(F(X_0,Y_0),L(X_1))\times {\rm Hom}_{\mathscr{C}}(F(X_0,Y_0),R(Y_1)) $$
$$ ={\rm Hom}_{\mathscr{C}}(L(X_0)\times R(Y_0),L(X_1))\times {\rm Hom}_{\mathscr{C}}(L(X_0)\times R(Y_0),R(Y_1)) $$
$$ \cong {\rm Hom}_{\mathscr{C}}(L(X_0),L(X_1))\times {\rm Hom}_{\mathscr{C}}(R(Y_0),R(Y_1)) $$
$$ \cong {\rm Hom}_{\rm Set}(X_0,X_1)\times {\rm Hom}_{\rm Set}(R(Y_0),R(Y_1)) $$
となる. 最後の同型は補題11を用いた. したがって, $F$は忠実充満である.

後半の主張は, 圏同値$F$が同型を反映することから従う.