可換環論2：完全列
加群の準同型による列
\begin{equation}
\xymatrix{ \cdots \ar[r]^-{f_{i+2}} & M_{i+1} \ar[r]^-{f_{i+1}} & M_{i} \ar[r]^-{f_{i}} & M_{i-1} \ar[r]^{f_{i-1}} & \cdots }
\end{equation}
が与えられたとき，${\rm Im}\, f_{i+1} = {\rm Ker}\, f_{i}$が全ての$i$について成立するならば，この列は完全列という．
特に，加群$\{0\}$を単に$0$と表すことにして，
\begin{equation}
\xymatrix{ 0 \ar[r] & L \ar[r] & M \ar[r] & N \ar[r] & 0}
\end{equation}
の形の完全列(すなわち，両端が$0$で五項からなる完全列)を短完全列という．
完全列において
$0\longrightarrow M \longrightarrow \cdots$
となっている場合$0\to M$は$0\mapsto 0$なる準同型であることは定義から明らかである(これ以外存在しえない．)
同様に，
$\cdots \longrightarrow M \longrightarrow 0$
となっている場合$M\to 0$は明らかに$x\in M$に対して$x\mapsto 0$なる準同型である．
加群の準同型$f:M\to N$が単射であることと，
\begin{equation}
\xymatrix{0 \ar[r] & M \ar[r]^-{f} & N}
\end{equation}
が完全であることは同値である．
加群の準同型$f:M\to N$が全射であることと，
\begin{equation}
\xymatrix{M \ar[r]^-{f} & N \ar[r] & 0}
\end{equation}
が完全であることは同値である．
加群の準同型$u:M\to M'$に対して，加群の準同型
\begin{align}
&u^*:{\rm Hom}_A(M',N) \to {\rm Hom}_A(M,N)\ ; \ f\mapsto f\circ u\\
&u_*:{\rm Hom}_A(N,M) \to {\rm Hom}_A(N,M')\ ;\ f\mapsto u\circ f
\end{align}
が定まる．
(i)$A$加群の完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0 \ar[r] &M_1 \ar[r] &M_2 \ar[r] &M_3
}
\end{equation*}
と，$A$加群$N$に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{\mathrm{Hom}_A(N,M_1)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(N,M_2)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(N,M_3)}
}
\end{equation*}
はまた完全である．
(ii)$A$加群の完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
M_1\ar[r] &M_2\ar[r] &M_3 \ar[r] &0
}
\end{equation*}
と，$A$加群$N$に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{{\rm Hom}_A(M_3,N)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(M_2,N)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(M_1,N)}
}
\end{equation*}
はまた完全である．
(i) 与えられた完全列の射を
\begin{equation*}
\xymatrix{
0 \ar[r] & M_1 \ar[r]^-{\alpha} & M_2 \ar[r]^-{\beta} & M_3
}
\end{equation*}
とおく．示すべき列は
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{{\rm Hom}_A(N,M_1)}\ar[r]^-{\alpha_*} &{{\rm Hom}_A(N,M_2)}\ar[r]^-{\beta_*} &{{\rm Hom}_A(N,M_3)}
}
\end{equation*}
である．ここで$\alpha_*(f)=\alpha\circ f,\ \beta_*(g)=\beta\circ g$である．
まず$\alpha$は単射なので，$\alpha\circ f=0$ならば$f=0$である．よって$\alpha_*$は単射である．
次に$\beta_*\circ\alpha_*=0$は$\beta\circ\alpha=0$から従う．したがって
${\rm Im}\,\alpha_*\subset {\rm Ker}\,\beta_*$である．逆に$g\in{\rm Hom}_A(N,M_2)$が$\beta\circ g=0$を満たすとする．このとき任意の$x\in N$に対して$g(x)\in{\rm Ker}\,\beta={\rm Im}\,\alpha$である．また$\alpha$は単射であるから，$\alpha(f(x))=g(x)$となる$f(x)\in M_1$は一意に定まる．
この対応$x\mapsto f(x)$は$A$準同型である．実際，$\alpha$を合成して確認すると
\begin{equation*}
\alpha(f(x+y))=g(x+y)=g(x)+g(y)=\alpha(f(x)+f(y))
\end{equation*}
であり，$\alpha$の単射性から$f(x+y)=f(x)+f(y)$である．スカラー倍についても同様である．よって$g=\alpha\circ f$であり，$g\in{\rm Im}\,\alpha_*$である．したがって
${\rm Im}\,\alpha_*={\rm Ker}\,\beta_*$である．
(ii) 与えられた完全列の射を
\begin{equation*}
\xymatrix{
M_1 \ar[r]^-{\alpha} & M_2 \ar[r]^-{\beta} & M_3 \ar[r] & 0
}
\end{equation*}
とおく．示すべき列は
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{{\rm Hom}_A(M_3,N)}\ar[r]^-{\beta^*} &{{\rm Hom}_A(M_2,N)}\ar[r]^-{\alpha^*} &{{\rm Hom}_A(M_1,N)}
}
\end{equation*}
である．ここで$\beta^*(f)=f\circ\beta,\ \alpha^*(g)=g\circ\alpha$である．
$\beta$は全射なので，$f\circ\beta=0$ならば$f=0$である．よって$\beta^*$は単射である．また$\alpha^*\circ\beta^*=0$は$\beta\circ\alpha=0$から従う．
逆に$g\in{\rm Hom}_A(M_2,N)$が$g\circ\alpha=0$を満たすとする．このとき$g$は${\rm Im}\,\alpha={\rm Ker}\,\beta$上で$0$である．したがって，$\beta(x)=\beta(y)$ならば$x-y\in{\rm Ker}\,\beta={\rm Im}\,\alpha$なので$g(x)=g(y)$である．よって
\begin{equation*}
f:M_3\to N\ ;\ \beta(x)\mapsto g(x)
\end{equation*}
は well-defined に定まる．これは$A$準同型であり，$g=f\circ\beta$を満たす．したがって$g\in{\rm Im}\,\beta^*$である．よって
${\rm Im}\,\beta^*={\rm Ker}\,\alpha^*$である．
$A$加群$P$が射影加群であるとは，任意の全射$p:M\to N$と任意の$A$準同型$f:P\to N$に対して，$A$準同型$\widetilde{f}:P\to M$で
\begin{equation*}
p\circ\widetilde{f}=f
\end{equation*}
を満たすものが存在することをいう．すなわち，図式
\begin{equation*}
\xymatrix{
& M \ar[d]^-{p} \\
P \ar[r]_-{f} \ar@{-->}[ur]^-{\widetilde{f}} & N \ar[r] & 0
}
\end{equation*}
がいつでも可換に持ち上がることをいう．
$A$加群$P$について次は同値である．
(i) $P$は射影加群である．
(ii) 任意の短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & L\ar[r] & M\ar[r] & N\ar[r] &0
}
\end{equation*}
に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{{\rm Hom}_A(P,L)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(P,M)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(P,N)}\ar[r] &0
}
\end{equation*}
は完全である．
(iii) 任意の短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & L\ar[r] & M\ar[r]^-{p} & P\ar[r] &0
}
\end{equation*}
は分裂する．すなわち，ある$A$準同型$s:P\to M$が存在して$p\circ s={\rm id}_P$を満たす．
(iv) $P$は自由加群の直和因子である．
(i)と(ii)の同値を示す．前の命題より，任意の短完全列に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{{\rm Hom}_A(P,L)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(P,M)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(P,N)}
}
\end{equation*}
は完全である．したがって(ii)で新しく必要なのは，右端の写像
\begin{equation*}
{\rm Hom}_A(P,M)\to {\rm Hom}_A(P,N)
\end{equation*}
が全射であることである．これはまさに，任意の全射$M\to N$と任意の写像$P\to N$が$P\to M$へ持ち上がるという条件である．よって(i)と(ii)は同値である．
(i)ならば(iii)である．実際，$p:M\to P$と${\rm id}_P:P\to P$に普遍性を用いれば，$p\circ s={\rm id}_P$を満たす$s:P\to M$が得られる．
(iii)ならば(iv)である．任意の加群は自由加群の商であるから，ある自由加群$F$と全射$q:F\to P$が存在する．よって短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{{\rm Ker}\,q}\ar[r] &F\ar[r]^-{q} &P\ar[r] &0
}
\end{equation*}
は分裂する．したがって$F\simeq {\rm Ker}\,q\oplus P$であり，$P$は自由加群$F$の直和因子である．
(iv)ならば(i)であることを示す．まず自由加群は射影加群である．実際，$F=A^{(I)}$の基底を$\{e_i\}_{i\in I}$とし，全射$p:M\to N$と$f:F\to N$をとる．各$i$について$p(x_i)=f(e_i)$となる$x_i\in M$を一つ選ぶと，$e_i\mapsto x_i$で定まる準同型$\widetilde{f}:F\to M$は$p\circ\widetilde{f}=f$を満たす．
次に射影加群の直和因子は射影加群である．$Q$が射影加群$P$の直和因子であるとし，$j:Q\to P,\ r:P\to Q$を$r\circ j={\rm id}_Q$を満たす包含と射影とする．全射$p:M\to N$と$f:Q\to N$が与えられたとき，$f\circ r:P\to N$は$P$の普遍性により$h:P\to M$へ持ち上がる．このとき$h\circ j:Q\to M$は$f$の持ち上げである．
よって自由加群の直和因子は射影加群である．
射影加群の任意の直和は射影加群である．
$\{P_i\}_{i\in I}$を射影加群の族とする．全射$p:M\to N$と準同型
\begin{equation*}
f:\bigoplus_{i\in I}P_i\to N
\end{equation*}
をとる．各$i$について合成$P_i\to \bigoplus_i P_i \xrightarrow{f}N$は，$P_i$の普遍性により$M$へ持ち上がる．これらの持ち上げを直和の普遍性で貼り合わせると，$\bigoplus_iP_i\to M$が得られ，これは$f$の持ち上げである．
$A$加群$I$が入射加群であるとは，任意の単射$i:L\to M$と任意の$A$準同型$f:L\to I$に対して，$A$準同型$\widetilde{f}:M\to I$で
\begin{equation*}
\widetilde{f}\circ i=f
\end{equation*}
を満たすものが存在することをいう．すなわち，図式
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & L\ar[d]_-{f}\ar[r]^-{i} & M\ar@{-->}[dl]^-{\widetilde{f}}\\
& I
}
\end{equation*}
がいつでも可換に拡張できることをいう．
$A$加群$I$について次は同値である．
(i) $I$は入射加群である．
(ii) 任意の短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & L\ar[r] &M\ar[r] &N\ar[r] &0
}
\end{equation*}
に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{{\rm Hom}_A(N,I)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(M,I)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(L,I)}\ar[r] &0
}
\end{equation*}
は完全である．
前の命題より，任意の短完全列に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &{{\rm Hom}_A(N,I)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(M,I)}\ar[r] &{{\rm Hom}_A(L,I)}
}
\end{equation*}
は完全である．したがって(ii)で新しく必要なのは，右端の写像
\begin{equation*}
{\rm Hom}_A(M,I)\to{\rm Hom}_A(L,I)
\end{equation*}
が全射であることである．これは任意の単射$L\to M$と任意の写像$L\to I$が$M\to I$へ拡張できるという条件であり，入射加群の定義そのものである．
$I$が入射加群ならば，任意の短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & I\ar[r]^-{i} &M\ar[r] &N\ar[r] &0
}
\end{equation*}
は分裂する．
普遍性を単射$i:I\to M$と${\rm id}_I:I\to I$に適用すると，$r:M\to I$で$r\circ i={\rm id}_I$を満たすものが存在する．よって$i$は左逆をもつので，この短完全列は分裂する．
入射加群の直和因子は入射加群である．
$J$が入射加群$I$の直和因子であるとし，$j:J\to I,\ r:I\to J$を$r\circ j={\rm id}_J$を満たす包含と射影とする．単射$i:L\to M$と準同型$f:L\to J$が与えられたとする．
$j\circ f:L\to I$は$I$の普遍性により$g:M\to I$へ拡張できる．このとき$r\circ g:M\to J$は$f$の拡張である．よって$J$は入射加群である．
$A$加群を対象とし，$A$準同型を射とする圏を$A{\rm -Mod}$と書く．すなわち
(i) 対象は$A$加群である．
(ii) 対象$M,N$の間の射は${\rm Hom}_A(M,N)$の元である．
(iii) 射の合成は写像としての合成で定める．
(iv) 恒等射は恒等写像${\rm id}_M:M\to M$である．
この圏を$A$加群の圏という．
$F:A{\rm -Mod}\to B{\rm -Mod}$を共変加法的関手とする．
$F$が左完全であるとは，任意の短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & L\ar[r] &M\ar[r] &N\ar[r] &0
}
\end{equation*}
に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &F(L)\ar[r] &F(M)\ar[r] &F(N)
}
\end{equation*}
が完全になることをいう．
$F$が右完全であるとは，任意の短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & L\ar[r] &M\ar[r] &N\ar[r] &0
}
\end{equation*}
に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
F(L)\ar[r] &F(M)\ar[r] &F(N)\ar[r] &0
}
\end{equation*}
が完全になることをいう．
$F$が左完全かつ右完全であるとき，$F$は完全であるという．
反変関手$G:A{\rm -Mod}\to B{\rm -Mod}$については，これは共変関手
\begin{equation*}
G:(A{\rm -Mod})^{\rm op}\to B{\rm -Mod}
\end{equation*}
とみなして同じ定義を用いる．明示的に書くと，短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & L\ar[r] &M\ar[r] &N\ar[r] &0
}
\end{equation*}
に対して
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] &G(N)\ar[r] &G(M)\ar[r] &G(L)
}
\end{equation*}
が完全になるとき$G$は左完全であり，
\begin{equation*}
\xymatrix{
G(N)\ar[r] &G(M)\ar[r] &G(L)\ar[r] &0
}
\end{equation*}
が完全になるとき$G$は右完全である．
上で示したことをこれらの言葉を使って言うと以下の通り．
任意の$A$加群$N$に対して，共変関手
\begin{equation*}
{\rm Hom}_A(N,-):A{\rm -Mod}\to A{\rm -Mod}
\end{equation*}
は左完全である．また反変関手
\begin{equation*}
{\rm Hom}_A(-,N):A{\rm -Mod}\to A{\rm -Mod}
\end{equation*}
も左完全である．
$A$加群$P$について，$P$が射影加群であることと，関手
\begin{equation*}
{\rm Hom}_A(P,-)
\end{equation*}
が完全であることは同値である．
$A$加群$I$について，$I$が入射加群であることと，反変関手
\begin{equation*}
{\rm Hom}_A(-,I)
\end{equation*}
が完全であることは同値である．
任意の$A$加群$N$に対して，関手
\begin{equation*}
N\otimes_A -:A{\rm -Mod}\to A{\rm -Mod}
\end{equation*}
は右完全である．
短完全列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & L\ar[r]^-{\alpha} &M\ar[r]^-{\beta} &P\ar[r] &0
}
\end{equation*}
をとる．示すべきことは
\begin{equation*}
\xymatrix{
N\otimes_A L\ar[r]^-{1\otimes\alpha} &N\otimes_A M\ar[r]^-{1\otimes\beta} &N\otimes_A P\ar[r] &0
}
\end{equation*}
が完全であることである．
まず$\beta$は全射なので，$N\otimes_A M\to N\otimes_A P$も全射である．実際，$N\otimes_A P$の元は有限和$\sum_i n_i\otimes p_i$で書けるが，各$p_i$を$\beta(m_i)=p_i$となる$m_i\in M$に持ち上げれば，これは$\sum_i n_i\otimes m_i$の像である．
また$(1\otimes\beta)\circ(1\otimes\alpha)=1\otimes(\beta\circ\alpha)=0$であるから，
${\rm Im}(1\otimes\alpha)\subset{\rm Ker}(1\otimes\beta)$である．逆向きの包含は，$P=M/{\rm Im}\,\alpha$としてテンソル積を作ったときの関係式から従う．すなわち，$N\otimes_A P$は$N\otimes_A M$を，$n\otimes \alpha(l)$を$0$とする関係で割ったものになっている．したがって$(1\otimes\beta)$の核は$1\otimes\alpha$の像である．
