ここでは科学大数学系の修士課程の院試の2023午前01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2023午前01
体上のベクトル空間及びその自己準同型をとる。またをの回合成とする。の部分空間をとおく。またの部分空間からなる集合を
とする。
(1) の元はの部分空間であることを示しなさい。
(2) が有限次元なら、であることを示しなさい。
(3) であるの例を挙げなさい。
- をとる。を取ったとき、は上同型であるから、任意のについて
なるが存在する。よってが示せた。 - は上全射であるから、の有限次元性よりはの同型を定めている。よって結果が従う。
- とし
とし、を
とおく。このときだがはであるから単射でない。よって上で挙げたは所望の例になっている。