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科学大数学系院試過去問解答例(2023午前01)

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ここでは科学大数学系の修士課程の院試の2023午前01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023午前01

K上のベクトル空間V及びその自己準同型φ:VVをとる。またφn:VVφn回合成とする。Vの部分空間W0n=0φn(V)とおく。またVの部分空間からなる集合S
S:={W|φ の W への制限は W の同型になっている }
とする。
(1) Sの元はW0の部分空間であることを示しなさい。
(2) Vが有限次元なら、W0Sであることを示しなさい。
(3) W0SであるK,φ,Vの例を挙げなさい。

  1. WSをとる。xWを取ったとき、φW上同型であるから、任意のnについて
    φn(y)=x
    なるyWが存在する。よってWW0が示せた。
  2. φW0上全射であるから、Vの有限次元性よりφ|W0W0の同型を定めている。よって結果が従う。
  3. K=Rとし
    V=RN={(a1,a2,a3,a4,)|aiR}
    とし、φ:VV
    φ(a1,a2,a3,)=(a2,a3,a4,)
    とおく。このときW0=Vだがφ:VVφ(1,0,0,)=0であるから単射でない。よって上で挙げたK,V,φは所望の例になっている。
投稿日:2024106
更新日:2024109
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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