写像 ②

Prop&Proof

1. $f(S)=\varnothing\Longrightarrow S=\varnothing$ を示す。
   対偶を示す。$S\ne\varnothing$ と仮定する。
   このとき、ある $s\in S$ が存在する。$S\subseteq A$ であるから、
   $$ s\in A $$
   である。
   $f:A\to B$ は写像であるから、
   $$ f(s)\in B $$
   が定まる。
   また、部分集合の像の定義より、
   $$ f(s)\in f(S) $$
   である。したがって、
   $$ f(S)\ne\varnothing $$
   である。
   ゆえに、対偶より、
   $$ f(S)=\varnothing\Longrightarrow S=\varnothing $$
   が成り立つ。
   $ $
2. $S=\varnothing\Longrightarrow f(S)=\varnothing$ を示す。
   $S=\varnothing$ と仮定する。任意に $y\in f(S)$ をとる。
   部分集合の像の定義より、ある $s\in S$ が存在して、
   $$ y=f(s) $$
   が成り立つ。
   しかし、$S=\varnothing$ であるから、そのような $s$ は存在しない。
   したがって、$f(S)$ には元が存在しない。
   ゆえに、
   $$ f(S)=\varnothing $$
   である。

-以上より、
$$ f(S)=\varnothing \Longleftrightarrow S=\varnothing $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意に $S,T\subseteq A$ をとり、
$$ S=T $$
と仮定する。
集合の相等を示すために、両包含を示す。

1. $f(S)\subseteq f(T)$ を示す。
   任意に $y\in f(S)$ をとる。
   部分集合の像の定義より、ある $s\in S$ が存在して、
   $$ y=f(s) $$
   が成り立つ。
   仮定 $S=T$ より、
   $$ s\in T $$
   である。
   したがって、部分集合の像の定義より、
   $$ y\in f(T) $$
   である。ゆえに、
   $$ f(S)\subseteq f(T) $$
   である。
   $ $
2. $f(T)\subseteq f(S)$ を示す。
   任意に $y\in f(T)$ をとる。
   部分集合の像の定義より、ある $t\in T$ が存在して、
   $$ y=f(t) $$
   が成り立つ。
   仮定 $S=T$ より、
   $$ t\in S $$
   である。
   したがって、部分集合の像の定義より、
   $$ y\in f(S) $$
   である。ゆえに、
   $$ f(T)\subseteq f(S) $$
   である。
   以上より、
   $$ f(S)=f(T) $$
   である。

-したがって、
$$ S=T \Longrightarrow f(S)=f(T) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

反例を与える。
$$ A=\{0,1\} $$
$$ B=\{0\} $$
とする。
写像 $f:A\to B$ を
$$ f(0)=0, \quad f(1)=0 $$
で定める。また、
$$ S=\{0\}, \quad T=\{1\} $$
とする。
このとき、
$$ S\ne T $$
である。
一方、部分集合の像の定義より、
$$ f(S)=f(\{0\})=\{f(0)\}=\{0\} $$
である。
また、
$$ f(T)=f(\{1\})=\{f(1)\}=\{0\} $$
である。
したがって、
$$ f(S)=f(T) $$
である。
ゆえに、$f(S)=f(T)$ であっても、一般には $S=T$ とは限らない。
$$ \Box$$

任意に $S,T\subseteq A$ をとり、
$$ f(S)\cap f(T)=\varnothing $$
と仮定する。
$S\cap T=\varnothing$ を示す。

1. 対偶を示す。
   $$ S\cap T\ne\varnothing $$
   と仮定する。
   このとき、ある $x$ が存在して、
   $$ x\in S\cap T $$
   が成り立つ。
   したがって、
   $$ x\in S\land x\in T $$
   である。
   また、$S\subseteq A$ であるから、
   $$ x\in A $$
   である。
   $ $
2. $f(x)$ が $f(S)\cap f(T)$ の元であることを示す。
   $f:A\to B$ は写像であり、$x\in A$ であるから、
   $$ f(x)\in B $$
   である。
   また、$x\in S$ であるから、部分集合の像の定義より、
   $$ f(x)\in f(S) $$
   である。
   同様に、$x\in T$ であるから、部分集合の像の定義より、
   $$ f(x)\in f(T) $$
   である。
   したがって、
   $$ f(x)\in f(S)\cap f(T) $$
   である。
   ゆえに、
   $$ f(S)\cap f(T)\ne\varnothing $$
   である。
   $ $
3. 対偶により結論を得る。
   以上より、
   $$ S\cap T\ne\varnothing \Longrightarrow f(S)\cap f(T)\ne\varnothing $$
   が成り立つ。
   したがって、対偶により、
   $$ f(S)\cap f(T)=\varnothing \Longrightarrow S\cap T=\varnothing $$
   が成り立つ。
   $$ \Box$$

反例を与える。
$$ A=\{0,1\} $$
$$ B=\{0\} $$
とする。
写像 $f:A\to B$ を
$$ f(0)=0, \quad f(1)=0 $$
によって定める。
また、
$$ S=\{0\}, \quad T=\{1\} $$
とする。このとき、
$$ S\cap T=\varnothing $$
である。
一方、部分集合の像の定義より、
$$ f(S)=f(\{0\})=\{f(0)\}=\{0\} $$
であり、
$$ f(T)=f(\{1\})=\{f(1)\}=\{0\} $$
である。
したがって、
$$ f(S)\cap f(T)=\{0\}\cap\{0\}=\{0\} $$
である。よって、
$$ f(S)\cap f(T)\ne\varnothing $$
である。
以上により、$S\cap T=\varnothing$ であっても、一般には $f(S)\cap f(T)=\varnothing$ とは限らない。
$$ \Box$$