こんにちは,itouです.
グリーン・タオの定理(著:関真一朗)を買ったので,内容を少しまとめます.
この本では以下の定理を理解することが最終目的です.
このような整数からなる集合がどのような場合に等差数列(やその一般化)を含むかという問題をAPラムゼー問題といいます.(APはArithmetic Progressionの頭文字)
まず,以下の定理が第一歩です.
ファン・デル・ヴェルデンの定理
正整数全体の集合を有限個の部分集合に分割するとき,それらのうち少なくとも一つの部分集合は任意の長さの等差数列を含む.(ただし分割と呼ぶときはどの部分集合も共通部分が空集合である)
もしが任意の長さの等差数列を含まないならば,ファン・デル・ヴェルデンの定理よりグリーン・タオの定理が証明されますが,実際はそうではありません.(いくらでも長い素数砂漠が存在することからは任意の長さの公差1の等差数列を含むので)
ファン・デル・ヴェルデンの定理は任意の等差数列を含む部分集合がどれか教えてくれないのです.これを克服するのがセメレディの定理です.ハイパーグラフ除去補題(第4章)⇒有限版多次元セメレディの定理(第2章)⇒多次元セメレディの定理(第2章)⇒セメレディの定理(第2章)という関係があります.つまりハイパーグラフ除去補題を示せばいい(第4章)のですがいきなりそれは難しいので,今回はファン・デル・ヴェルデンの定理の一般化であるグラハム・ロスチャイルドの定理を解説します.これはいわば一般化された等差数列についてのファン・デル・ヴェルデンの定理です.注:この定理はグリーン・タオの定理の証明に使われません.準備運動というわけです.
記号について
通常と違い,は以上以下の整数の集合を指します.また,とします.等差数列と集合を同一視します.等差数列の元の個数を長さということがあります.
本題
次のような同値関係を導入します.
同値
を直積集合が同値であるとは,左から数えて最後にが現れるまでの各成分の値が一致しているときをいう.成分にを一つももたない元たちはすべて互いに同値とする.すなわち,は一つの同値類とし,が同値であるとは,あるが存在して
が成り立つことである.
少し説明しておきます.
同値類とは同値関係によって集合を分類したものです.左から数えて最後にが現れるのを番目とすると,
のときの同値類は集合です.(元の個数は個でそのような同値類は1個)
のときの同値類は(の部分は以下の非負整数が並ぶ)の形の元全体の集合です.(そのような同値類はただ1つある.)
同様にのときの同値類はの形の元であって,左のの部分が一致しているような元全体の集合です.(元の個数は個でそのような同値類は個ある.)
このようにを個の集合に分類しておきます.
以下の同値関係は同値とします.
グラハム・ロスチャイルドの定理
正整数に対して,正整数が存在して,以下が成立する.を満たす任意の整数と,の任意の分割に対して,を満たす,および写像が存在して,任意の同値類に対して
記号がいっぱい出てきたので整理しましょう.は次元,は分割の個数,たちは公差です.
とは次元の等差数列です.(1次元の等差数列がふつうの等差数列です.)等差数列の長さは同値類の元の個数に対応します.(たちの値によっては異なるに対して同じ値であることもあり得るのではと指摘されました.等差数列の長さは最大でです)はの上限で,これより大きくなることはできません.たちはいわばインデックスで,たちが同値類の中を動き回ることで数列が作られます.という条件は,これら等差数列の元の中でも一番大きいもの(なので)が以下であるようにしたいということです.そのためのの条件がです.そしてという空間を同値によって分類し,任意の同値類の元すべてから等差数列の集合を作ると,それは分割のどれかに入ります.それがどの部分集合なのか明示されていないことに注意して下さい.まるで鳩ノ巣原理ですね.(実は証明には鳩ノ巣原理が出てきます.)
証明の方針
正整数を固定し任意のに対し上の主張が成立することをと表すことにします.についての二重帰納法で示します.つまり仮定から別のうまい分割を構成します.
ステップ1 を示す
まず,任意のに対してが成立することはの任意の2元が互いに1同値でないことより分かります.(とすればよい)
さて,を固定します.以下任意のに対しの成立を仮定します.任意のに対してを取ることで, を示します.とします.
を満たすと任意の分割をとり,それから分割をとります.仮定よりの分割に対してを適用できて,
仮定より
を満たす,および写像が存在して,任意の同値類に対して
が成立します.ここで
の形の元を考えます.換言すれば,
に対する等差数列を考えます.は以上以下なのでこのような等差数列は個あり,すべて互いに異なる同値類の元です.分割は個の部分集合を考えていたのでした.よって,鳩ノ巣原理より,
が成り立つようなおよびが存在します.このとき,任意のに対して,
であることを示します.
のとき,
という元たちはすべて互いに同値なので仮定とより従います.
のときはから従います.
これでが示されました.なぜの形の元を考えたのでしょうか.
それは,
(再掲)この式の
の部分を初項,
の部分を公差とみることで,,次元(つまり等差数列の長さが)のときに帰着できるからなのです.
次元が1なので,同値の同値類は二つしかありません.
つまり,とです.
が以下であることを確かめましょう.
についてはとより,
のときは等差数列の元が一つしかありませんから,この等差数列(というか一つの数)が分割のどれかに含まれることは明らかで,と合わせて分かりました.
よって, が示されました.
ステップ2 を示す
が成り立つと仮定します.
とします.このとき,を取れることを示します.
ステップ1と同様に,仮定から別の分割を構成していきます.
を満たすと分割を任意にとります.
を
という個の区間に分割します.
以下の通り.
図1
上の図で各行はと表されます.
上の色分けにおいては各行の色分けの総数より大きいので,ある色分けが存在して,その色分けに対応するが複数存在します.このことを使って逆にを分割しましょう.
写像を「なる番号」として定義し,写像を
で定義します.
このとき,の分割
が得られます.
が逆像であることに注意してください.繰り返しますがはよりも十分大きいので,の元の個数は複数ありえます.
よって,の定義からを満たす,が存在して,
が成り立ちます.
図2
はよりも十分大きいので,の中には同じものが複数含まれうることに注意して下さい.
従って
各に対して
であることが分かります.
ここまで来たらもう少しです.最後にあるが存在しての中に所望のの等差数列が含まれることを確認しましょう.
ここで以下の補題を示します.
平行移動の原理
グラハム・ロスチャイルドの定理においてが存在するならば,を満たす任意の整数との任意の分割に対して,グラハム・ロスチャイルドの定理が成立する.
証明
分割に対して分割を取ることで,仮定より示された.
は平行移動の原理を満たすので,の定義より区間に対してを適用することで(ここでようやく仮定を使います)
を満たすが存在し,の同値に関する各同値類ごとにがあって
が成立します.このとき,
であることに注意して,の同値に関する任意の同値類に対してが存在し,
が成り立つことを確認しましょう.はの同値に関する同値類を用いてと表されるか,第成分がであるような1元集合です.後者の場合は自明(同値類の元が1つ,つまり等差数列の長さが1だから)なので,前者の場合を考えます.
を固定するとき,により,
が成り立ちます.ただしです.
でしたから,はの元に番目の元を付け加えて作ったのでした.はそのようにして作ったから作った等差数列がすべて同じの分割の部分集合に入ると言っています.
ここで,以下のことに気をつけてください.
交わりがあるなら同じ分割に入る
2つの等差数列とがそれぞれ分割に含まれるとき,もしなるが存在するなら,各分割は非交なので.
のときを考えます.(いまを固定していることに注意)
上の2つの集合にはともに固定したに対し
が含まれています.よって,上の囲み枠より,です.
最後にを動かしますが,はに依存していました.個のについて,が同じになります.
結局,つねにととれることが分かりました.以上よりが成立します.
感想
二重帰納法とか出てきて楽しかったです.がどのような整数になるんでしょうか.ちなみにこの内容は本書で3ページくらいです.先は長いですね.
謝辞
ここまで読んで下さりありがとうございました。誤植等指摘お願いいたします。
訂正記録
2024/04/14:同値の例,誤植を訂正
2024/04/17:同値の同値類の個数の誤りを訂正,等差数列の長さについての指摘を反映,最後のを得る議論を修正.