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大学数学基礎解説
文献あり

グリーン・タオの定理1 グラハム・ロスチャイルドの定理

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こんにちは,itouです.
グリーン・タオの定理(著:関真一朗)を買ったので,内容を少しまとめます.
この本では以下の定理を理解することが最終目的です.

グリーン・タオの定理

素数全体の集合Pは任意の長さの等差数列を含む.

このような整数からなる集合がどのような場合に等差数列(やその一般化)を含むかという問題をAPラムゼー問題といいます.(APはArithmetic Progressionの頭文字)

まず,以下の定理が第一歩です.

ファン・デル・ヴェルデンの定理

正整数全体の集合を有限個の部分集合に分割するとき,それらのうち少なくとも一つの部分集合は任意の長さの等差数列を含む.(ただし分割と呼ぶときはどの部分集合も共通部分が空集合である)

もしZ>0Pが任意の長さの等差数列を含まないならば,ファン・デル・ヴェルデンの定理よりグリーン・タオの定理が証明されますが,実際はそうではありません.(いくらでも長い素数砂漠が存在することからZ>0Pは任意の長さの公差1の等差数列を含むので)
ファン・デル・ヴェルデンの定理は任意の等差数列を含む部分集合がどれか教えてくれないのです.これを克服するのがセメレディの定理です.ハイパーグラフ除去補題(第4章)⇒有限版多次元セメレディの定理(第2章)⇒多次元セメレディの定理(第2章)⇒セメレディの定理(第2章)という関係があります.つまりハイパーグラフ除去補題を示せばいい(第4章)のですがいきなりそれは難しいので,今回はファン・デル・ヴェルデンの定理の一般化であるグラハム・ロスチャイルドの定理を解説します.これはいわば一般化された等差数列についてのファン・デル・ヴェルデンの定理です.注:この定理はグリーン・タオの定理の証明に使われません.準備運動というわけです.

記号について

通常と違い,[a,b]a以上b以下の整数の集合を指します.また,[N]=[1,N]とします.等差数列(a)nと集合{a1,a2,,an}を同一視します.等差数列の元の個数を長さということがあります.

本題

次のような同値関係を導入します.

k同値

k,dを直積集合[0,k]dk同値であるとは,左から数えて最後にkが現れるまでの各成分の値が一致しているときをいう.成分にkを一つももたない元たちはすべて互いにk同値とする.すなわち,[0,k1]dは一つの同値類とし,(a1,,ad),(a1,,ad)[0,k][0,k1]dk同値であるとは,あるj[d]が存在して
ai=ai(1ij1),aj=aj=k(aj+1,ad),(aj+1,ad)[0,k1]dj
が成り立つことである.

少し説明しておきます.
同値類とは同値関係によって集合を分類したものです.左から数えて最後にkが現れるのをj番目とすると,
j=0のときの同値類は集合[0,k1]dです.(元の個数はkd個でそのような同値類は1個)
j=1のときの同値類は{k,[0,k-1]の元がd1}(の部分はk1以下の非負整数が並ぶ)の形の元全体の集合です.(そのような同値類はただ1つある.)

同様にjのときの同値類は{[0,k]の元がj1,k,[0,k-1]の元がdj}の形の元であって,左のの部分が一致しているような元全体の集合です.(元の個数はkdi個でそのような同値類は(k+1)j1個ある.)

このように[0,k]d1+1+(k+1)+(k+1)2++(k+1)d1個の集合に分類しておきます.

以下の同値関係k同値とします.

グラハム・ロスチャイルドの定理

正整数k,d,mに対して,正整数NGR(k,d,m)が存在して,以下が成立する.NNGR(k,d,m)を満たす任意の整数Nと,[N]の任意の分割[N]=C1Cmに対して,b+j[d]krjNを満たすb,r1,,rdZ>0,および写像i:([0,k]d/)[m]が存在して,任意の同値類A([0,k]d/)に対して

{b+j[d]ajrj[N]:(a1,,ad)A}Ci(A)

記号がいっぱい出てきたので整理しましょう.dは次元,mは分割の個数,rたちは公差です.
{b+j[d]ajrj[N]:(a1,,ad)A}
とはd次元の等差数列です.(1次元の等差数列がふつうの等差数列です.)等差数列の長さは同値類Aの元の個数に対応します.(rたちの値によっては異なる(a1,,ad)に対して同じ値であることもあり得るのではと指摘されました.等差数列の長さは最大でAです)kajの上限で,これより大きくなることはできません.(a1,,ad)たちはいわばインデックスで,(a1,,ad)たちが同値類Aの中を動き回ることで数列が作られます.b+j[d]krjNという条件は,これら等差数列の元の中でも一番大きいもの(ajkなので)がN以下であるようにしたいということです.そのためのNの条件がNNGR(k,d,m)です.そして[0,k]dという空間をk同値によって分類し,任意の同値類Aの元すべてから等差数列の集合を作ると,それは分割のどれかに入ります.それがどの部分集合なのか明示されていないことに注意して下さい.まるで鳩ノ巣原理ですね.(実は証明には鳩ノ巣原理が出てきます.)

証明の方針

正整数k,dを固定し任意のmに対し上の主張が成立することをGR(k,d)と表すことにします.k,dについての二重帰納法で示します.つまり仮定から別のうまい分割を構成します.

ステップ1GR(k,d)GR(k+1,1) を示す

まず,任意のdZ>0に対してGR(1,d)が成立することは[0,1]dの任意の2元が互いに1同値でないことより分かります.(NGR(1,d,m)=d+1とすればよい)

さて,kを固定します.以下任意のdに対しGR(k,d)の成立を仮定します.任意のmに対してNGR(k+1,1,m)=2NGR(k,m,m)を取ることで,GR(k,d)G(k+1,1) を示します.M=NGR(k,m,m)とします.
N2Mを満たすNと任意の分割[N]=C1Cmをとり,それから分割[M]=i[m](Ci[M])をとります.仮定より[M]の分割に対してGR(k,m)を適用できて,

仮定より

b+j[m]krjMを満たすb,r1,,rmZ>0,および写像i:([0,k]m/)[m]が存在して,任意の同値類A([0,k]m/)に対して

{b+j[m]ajrj[N]:(a1,,am)A}Ci(A)

が成立します.ここで
b+j[p]krj(p[0,m])

の形の元を考えます.換言すれば,

(k,,kp,0,,0)mp[0,k]m
に対する等差数列を考えます.p0以上m以下なのでこのような等差数列はm+1個あり,すべて互いに異なる同値類の元です.分割[N]=C1Cmm個の部分集合を考えていたのでした.よって,鳩ノ巣原理より,
(1)b+j[s]krjCI  (2)b+j[t]krjCI

が成り立つようなs,t[0,m](s<t)およびI[m]が存在します.このとき,任意のl[0,k]に対して,

(3)b+j[s]krj+lj[s+1,t]rjCI

であることを示します.
l[0,k1]のとき,

(k,,ks,l,,lts,0,,0)mtl[0,k1]
という元たちはすべて互いにk同値なので仮定と1より従います.
l=kのときは2から従います.
これで3が示されました.なぜ3の形の元を考えたのでしょうか.
それは,

(3)b+j[s]krj+lj[s+1,t]rjCI
(再掲)この式の
b+j[s]krj
の部分を初項,
j[s+1,t]rj
の部分を公差とみることで,k+1,次元1(つまり等差数列の長さがk+1)のときに帰着できるからなのです.
次元が1なので,k+1同値の同値類は二つしかありません.
つまり,{l:l[0,k]}{k+1}です.

b+j[s]krj+(k+1)j[s+1,t]rj
N以下であることを確かめましょう.
b+j[s]krj+(k+1)j[s+1,t]rj=(b+j[t]krj)+j[s+1,t]rj(4)M+MN

{(l)|l[0,k]}については34より,
k+1のときは等差数列の元が一つしかありませんから,この等差数列(というか一つの数)が分割のどれかに含まれることは明らかで,4と合わせて分かりました.

よって,GR(k,d)GR(k+1,1) が示されました.

ステップ2 GR(k+1,d)GR(k+1,d+1)を示す

GR(k+1,d)が成り立つと仮定します.
N1=NGR(k+1,d,m),N2=NGR(k+1,1,mN1)とします.このとき,NGR(k+1,d+1,m)=N1N2を取れることを示します.
ステップ1と同様に,仮定から別の分割を構成していきます.

NN1N2を満たすNと分割[N]=C1Cmを任意にとります.
[N1N2]
[N1N2]=h[N2]([N1]+(h1)N1)
というN2個の区間に分割します.
以下の通り.
図1 図1

上の図で各行は[N1]+(h1)N1(h[N2])と表されます.
上の色分けにおいてN2は各行の色分けの総数mN1より大きいので,ある色分けが存在して,その色分けに対応するh[N2]が複数存在します.このことを使って逆に[N2]を分割しましょう.

写像c:[N][m]c(a)=aCiなる番号i」として定義し,写像c:[N2][m]N1
c(h)=(c(1+(h1)N1),c(2+(h1)N1),,c(N1+(h1)N1))
で定義します.

このとき,[N2]の分割

[N2]=j[m]N1(c1(j))
が得られます.

c1(j)が逆像であることに注意してください.繰り返しますがN2mN1よりも十分大きいので,c1(j)の元の個数は複数ありえます.

よって,N2の定義からb+(k+1)rN2を満たすb,rZ>0,i=(i1,,iN1)[m]N1が存在して,
{b+ar:a[0,k]}c1(i))
が成り立ちます.
図2 図2

N1mよりも十分大きいので,ijの中には同じものが複数含まれうることに注意して下さい.

従って
l[N1]に対して
(5){l+(b+ar1)N1:a[0,k]}Cil
であることが分かります.

ここまで来たらもう少しです.最後にあるL[N1]が存在してCiLの中に所望の(k+1,d+1)の等差数列が含まれることを確認しましょう.

ここで以下の補題を示します.

平行移動の原理

グラハム・ロスチャイルドの定理においてNGR(k,d,m)が存在するならば,NNGR(k,d,m)を満たす任意の整数N[N]+hの任意の分割[N]+h=C1Cmに対して,グラハム・ロスチャイルドの定理が成立する.

証明

分割[N]+h=C1Cmに対して分割[N]=(C1h)(Cmh)を取ることで,仮定より示された.

GR(k+1,d)は平行移動の原理を満たすので,N1の定義より区間[N1]+(b1)N1に対してGR(k+1,d)を適用することで(ここでようやく仮定を使います)
(b1)N1+1b+j[d]ajrjbN1,(a1,ad)[0,k+1]d

を満たすb,r1,rdが存在し,[0,k+1]d(k+1)同値に関する各同値類Aごとにi(A)[m]があって

(6){b+j[d]ajrj:(a1,,ad)A}Ci(A)

が成立します.このとき,
b+j[d](k+1)rj+(k+1)rN1=bN1+(k+1)rN1(7)N1N2N
であることに注意して,[0,k+1]d+1(k+1)同値に関する任意の同値類Aに対してi(A)[m]が存在し,

(8){b+j[d]ajrj+ad+1rN1:(a1,,ad,ad+1)A}Ci(A)
が成り立つことを確認しましょう.A[0,k+1]d(k+1)同値に関する同値類を用いてA=A×[0,k]と表されるか,第(d+1)成分がk+1であるような1元集合です.後者の場合は自明(同値類の元が1つ,つまり等差数列の長さが1だから)なので,前者の場合を考えます.(a1,,ad)A
を固定するとき,5により,
(9){b+j[d]ajrj+ad+1rN1:ad+1[0,k]}CiL
が成り立ちます.ただしL=b+j[d]ajrj(b1)N1[N1]です.

A=A×[0,k]でしたから,AAの元に(d+1)番目の元を付け加えて作ったのでした.9そのようにして作ったAから作った等差数列がすべて同じ[N]の分割の部分集合に入ると言っています.
ここで,以下のことに気をつけてください.

交わりがあるなら同じ分割に入る

2つの等差数列{x1,,xp}{y1,,yq}がそれぞれ分割CP,CQに含まれるとき,もしxi=yjなる(i,j)が存在するなら,各分割は非交なのでP=Q.

ad+1=0のときを考えます.(いま(a1,,ad)Aを固定していることに注意)
{b+j[d]ajrj:(a1,,ad)A}Ci(A)
{b+j[d]ajrj+ad+1rN1:ad+1[0,k]}CiL

上の2つの集合にはともに固定した(a1,,ad)に対し
b+j[d]ajrj
が含まれています.よって,上の囲み枠より,i(A)=iLです.
最後に(a1,,ad)を動かしますが,L(a1,,ad)に依存していました.A個の(a1,,ad)について,iLが同じになります.

結局,つねにi(A)=i(A)=iLととれることが分かりました.以上よりGR(k+1,d+1)が成立します.

感想

二重帰納法とか出てきて楽しかったです.NGR(k,d,m)がどのような整数になるんでしょうか.ちなみにこの内容は本書で3ページくらいです.先は長いですね.

謝辞

ここまで読んで下さりありがとうございました。誤植等指摘お願いいたします。

訂正記録

2024/04/14:k同値の例,誤植を訂正
2024/04/17:k同値の同値類の個数の誤りを訂正,等差数列の長さについての指摘を反映,最後のi(A)=i(A)=iLを得る議論を修正.

参考文献

[1]
関 真一朗, グリーン・タオの定理, 朝倉書店, 2023, 31~34
投稿日:2024413
更新日:2024427
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itou
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数学勉強中. https://twitter.com/G7UOMb0Zd8V7LdP

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  1. 本題
  2. ステップ1GR(k,d)GR(k+1,1) を示す
  3. ステップ2 GR(k+1,d)GR(k+1,d+1)を示す
  4. 参考文献