Cartier双対の$k$有理点と指標群は群として同型であることについてのメモ

目的

$k$上の有限可換群スキーム$G$を表現するHopf代数を$A$とし, $G$のCartier双対を$G^D$とするとき, $G^D$の$k$値点$G^D(k)$と$A$のgroup-like元の間の全単射が, 群の同型であることの証明.

問題設定

$k$を単位元$1$をもつ可換環, $A$は有限生成射影的$k$加群とする.
$A$の双対加群を$A^*=\operatorname{Hom}_k(A,k)$とする.
このとき, 自然な同型
$$\iota :A \to A^{**}$$
が存在する. すなわち, $a\in A$に対し, $\iota(a)\in A^{**}$は
$$\iota(a)(f)=f(a) \ \ \forall f \in A^*=\operatorname{Hom}_k(A,k)$$
を満たす.
また,　
$$\pi : A^* \otimes_k A^{*} \to (A\otimes_k A)^* ; f\otimes g \mapsto (a\otimes b \mapsto f(a)g(b))$$
は同型である.

さらに, $A$は$k$代数の構造をもつとする. 積が誘導する$k$準同型を
$$m : A \otimes _k A \to A$$
とかき, この双対を
$$m^* : A^* \to (A\otimes_k A)^*$$
とする.
$b,c \in A$に対して, $\iota(b),\iota(c)\in A^{**}$が定まる. すなわち, $k$準同型
$\iota(b), \iota(c): A^* \to k$
が定まる. $\iota(b)\otimes \iota(c): A^* \otimes_k A^* \to k\otimes _k k$と$k$の積（自然な同型）$k\otimes_k k \to k$との合成を
$$(\iota(b), \iota(c)): A^* \otimes_k A^* \to k$$
とかく.

命題の証明

まずは$(\iota(b),\iota(c))\circ \pi^{-1}:(A\otimes _k A)^* \to k$
を求めよう. 同型
$$A\otimes_k A \to (A\otimes_k A)^{**}$$
により, ただ一つの元$x \in A\otimes_k A$が存在して,
$$ ((\iota(b),\iota(c))\circ \pi^{-1})(\phi)=\phi(x) \ \ \ \forall \phi \in (A \otimes_k A)^*$$
が成り立つ. $\pi$が同型だから, この条件は
$$ (\iota(b),\iota(c)(\phi)=\pi(\phi)(x) \ \ \ \forall \phi \in A^* \otimes_k A^*$$
と同値である. $A^*\otimes _k A^*$は$f\otimes g$の形の元で生成されるので, 条件は
$$ (\iota(b),\iota(c)(f\otimes g)=\pi(f\otimes g)(x) \ \ \ \forall f,g \in A^*$$
と同値. 定義より$(\iota(b),\iota(c)(f\otimes g)=f(b)g(c)$であることに注意する.
さて, $x=b\otimes c \in A\otimes_k A$を考えると, $\pi$の特徴づけから$\pi(f\otimes g)(b\otimes c)=f(b)g(c)$が成り立つ. 以上から,

$(\iota(b),\iota(c))\circ \pi^{-1}\circ m^* \in A^{**}$を計算しよう.
任意の$f \in A^*$に対して,
$((\iota(b),\iota(c))\circ \pi^{-1}\circ m^*) (f)=((\iota(b),\iota(c))\circ \pi^{-1})(m^* (f))= ((\iota(b),\iota(c))\circ \pi^{-1})(f\circ m)= (f\circ m)(b\otimes c)=f(bc)=\iota(bc)(f). $
2番目の等号は$m^*$の定義, 3番目の等号は補題, 4番目の等号は$m$が$A$の積写像であることを用いた.
最後の等号は同型$\iota$の定義である.
よって, $ (\iota(b),\iota(c))\circ \pi^{-1}\circ m^*=\iota(bc)$.