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科学大数学系院試過去問解答例(2020午前05)

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ここでは科学大数学系の修士課程の院試の2020午前05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2020午前05

d2以上の自然数とする。多項式の集合
Vd={fC[X]|degf<d}
は和とスカラー倍で複素d次元線型空間になっている。aC×に対して線型写像φa,b:VV
φa,b(f)=f(ax+b)
で定義する。

  1. a=1及びd=4のときの固有値を全て求め、各固有値に関する固有空間の基底をそれぞれ一組挙げなさい。
  2. φa,bの固有値をa,b,dを用いて表しなさい。
  3. φa,bが適切な基底の変換によって対角行列で表現できるためには、a1ないしb=0のいずれかが満たされていることが必要充分であることを示しなさい。
  1. (2)から固有値は±1であり、それぞれの固有値の固有空間をV±1としたとき
    V1=1,(xb2)2
    V1=xb2,(xb2)3
    である。
  2. 初めにa1の場合
    φa,b((x+ba1)n)=(ax+b+ba1)n=an(x+ba1)n
    である。以上からこの場合は1,x+ba1,(x+ba1)2,,(x+ba1)d1がそれぞれ固有値1,a,a2,,ad1に関する固有ベクトルになっている。次にa=1の場合、vi=xiで定義した元からできる基底v0,,vd1に関する表現行列は対角成分が全て1の上三角行列であるから、その固有値は1のみである。以上をまとめるとφa,bの固有値は
    {1(a=1)1,a,a2,ad1(a1)
    である。
  3. (2)の議論からa1のとき、φa,bは対角化可能である。一方a=1のとき、(2)で作った基底v0,,vd1に関する表現行列の最小多項式を見ることにより、φ1,bが対角化可能になるのは、b=0のときであり、またそのときに限ることがわかる。以上から結果が従う。
投稿日:20241011
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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