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大学数学基礎解説
科学大数学系院試過去問解答例(2020午前05)
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ここでは科学大数学系の修士課程の院試の2020午前05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2020午前05
$d$を$2$以上の自然数とする。多項式の集合
$$
V_d=\left\{f\in\mathbb{C}[X]\middle|\deg f< d\right\}
$$
は和とスカラー倍で複素$d$次元線型空間になっている。$a\in\mathbb{C}^\times$に対して線型写像$\varphi_{a,b}:V\to V$を
$$
\varphi_{a,b}(f)=f(ax+b)
$$
で定義する。
- $a=-1$及び$d=4$のときの固有値を全て求め、各固有値に関する固有空間の基底をそれぞれ一組挙げなさい。
- $\varphi_{a,b}$の固有値を$a,b,d$を用いて表しなさい。
- $\varphi_{a,b}$が適切な基底の変換によって対角行列で表現できるためには、$a\neq1$ないし$b=0$のいずれかが満たされていることが必要充分であることを示しなさい。
- (2)から固有値は$\pm1$であり、それぞれの固有値の固有空間を$V_{\pm1}$としたとき
$$ V_{1}=\left\langle {\color{red}1,\qty(x-\frac{b}{2})^2}\right\rangle $$
$$ V_{-1}=\left\langle{\color{red}x-\frac{b}{2},\left(x-\frac{b}{2}\right)^3}\right\rangle $$
である。 - 初めに$a\neq1$の場合
$$ \varphi_{a,b}\left(\left(x+\frac{b}{a-1}\right)^n\right)=\left(ax+b+\frac{b}{a-1}\right)^n=a^n\left(x+\frac{b}{a-1}\right)^n $$
である。以上からこの場合は$1,x+\frac{b}{a-1},\left(x+\frac{b}{a-1}\right)^2,\cdots,\left(x+\frac{b}{a-1}\right)^{d-1}$がそれぞれ固有値$1,a,a^2,\cdots,a^{d-1}$に関する固有ベクトルになっている。次に$a=1$の場合、$v_i=x^{i}$で定義した元からできる基底$v_0,\cdots,v_{d-1}$に関する表現行列は対角成分が全て$1$の上三角行列であるから、その固有値は$1$のみである。以上をまとめると$\varphi_{a,b}$の固有値は
$$ {\color{red}\begin{cases} 1&(a=1)\\ 1,a,a^2\cdots,a^{d-1}&(a\neq1) \end{cases}} $$
である。 - (2)の議論から$a\neq1$のとき、$\varphi_{a,b}$は対角化可能である。一方$a=1$のとき、(2)で作った基底$v_0,\cdots,v_{d-1}$に関する表現行列の最小多項式を見ることにより、$\varphi_{1,b}$が対角化可能になるのは、$b=0$のときであり、またそのときに限ることがわかる。以上から結果が従う。
投稿日：10月11日
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