組み合わせ論で導く積分
あいさつ
んちゃ！
今回は組み合わせ論を積分に応用して遊ぶよ！
- $\mathbb{Z}_{\geq0}\coloneqq\mathbb{N}\cup\{0\}$とする。
- 文字列$x_{1},x_{2},...,x_{n}$と整数$j_{1},j_{2},...,j_{n}\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$に対して定まる偏微分演算子は次の様に略記する。
\begin{equation} \frac{\partial^{j_{1}+j_{2}+\cdots+j_{n}}}{\partial x_{i_{1}}^{j_{1}}x_{i_{2}}^{j_{2}}\cdots x_{i_{n}}^{j_{n}}}\coloneqq\partial_{x_{1}}^{j_{1}}\partial_{x_{2}}^{j_{2}}\dots\partial_{n}^{j_{n}}\coloneqq\partial^{j_{1}+j_{2}+\cdots+j_{n}}_{x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n}^{j_{n}}}\end{equation}なお、ある$k\in\{1,2,...,n\}$について$j_{k}=0$の場合は書かずに略記する。 - 多変数関数の引数は次の様に略記する。
\begin{equation} f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(\vb*{x}) \end{equation} - Einsten規約に基づき繰り返される添字がある場合は総和を取るものとする。
- また適宜変数を省略する。
🧮偏微分と組み合わせ論
組み合わせ論を積分に応用するために以下の問題を考えてみましょう。
$N_{1}$変数を持つ関数$f(x_{1},x_{2},...,x_{N_{1}})$と$N_{2}$変数を持つ関数列$\{g_{k}(x_{1},x_{2},...,x_{N_{2}})\}$があるとする。この時次の偏微分を求めよ。
\begin{equation}
\partial_{x_{1}}^{D_{1}}\partial_{x_{2}}^{D_{2}}\cdots\partial_{x_{N_{2}}}^{D_{N_{2}}}f(\vb*{g}(\vb*{x}))
\end{equation}
まず、一般の場合を求めるのはかなり難しいのでまずは単純な場合で確認しながら確実に進みましょう。
$N_{2}=3,D_{1}=D_{2}=D_{3}=1$の場合
この場合は比較的簡単に計算できる。実際
\begin{eqnarray}
\partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}}f&=&
\partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}(\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})\\
&=&\partial_{x_{1}}(\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})+\partial_{x_{1}}(\partial_{g_{i_{2}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{2}}g_{i_{2}})(\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})\\
&=&(\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})+(\partial_{g_{i_{1}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{1}}g_{i_{1}})(\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})+(\partial_{g_{i_{2}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}g_{i_{2}})(\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})+(\partial_{g_{i_{2}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{2}}g_{i_{2}})(\partial_{x_{1}}\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})+(\partial_{g_{i_{1}}}\partial_{g_{i_{2}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{1}}g_{i_{1}})(\partial_{x_{2}}g_{i_{2}})(\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})\\
&=&(\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})\\
&+&(\partial_{g_{i_{1}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{1}}g_{i_{1}})(\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})+(\partial_{g_{i_{2}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}g_{i_{2}})(\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})+(\partial_{g_{i_{2}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{2}}g_{i_{2}})(\partial_{x_{1}}\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})\\
&+&(\partial_{g_{i_{1}}}\partial_{g_{i_{2}}}\partial_{g_{i_{3}}}f)(\partial_{x_{1}}g_{i_{1}})(\partial_{x_{2}}g_{i_{2}})(\partial_{x_{3}}g_{i_{3}})
\end{eqnarray}
ここで、以下の様に$1,2,3$を分割したものを表す集合を定めよう。
\begin{eqnarray}
\mathcal{P}_{3}\coloneqq\{\{\{1,2,3\}\},\{\{1,2\},\{3\}\},\{\{2,3\},\{1\}\},\{\{3,1\},\{2\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\}
\end{eqnarray}
すると以下の式を得る事ができる。
\begin{equation}
\partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}}f=\sum_{\pi\in\mathcal{P}_{3}}(\partial^{\sharp\pi}_{g_{i_{1}}g_{i_{2}}\cdots g_{i_{\sharp \pi}}}f)\prod_{k=1}^{\sharp\pi}\prod_{B_{k}\in\pi}\partial^{\sharp B_{k}}_{\prod_{j\in B_{k}}x_{j}}g_{i_{k}}
\end{equation}
上記の計算より以下の計算ができる事が分かる。
$D_{1}=D_{2}=\cdots=D_{N_{2}}=1$の場合
\begin{equation} \partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}\cdots\partial_{x_{N_{2}}}f=\sum_{\pi\in\mathcal{P}_{N_{2}}}(\partial^{\sharp\pi}_{g_{i_{1}}g_{i_{2}}\cdots g_{i_{\sharp \pi}}}f)\prod_{k=1}^{\sharp\pi}\prod_{B_{k}\in\pi}\partial^{\sharp B_{k}}_{\prod_{j\in B_{k}}x_{j}}g_{i_{k}} \end{equation}
一般の場合
さっきまでの計算でわかります様に、一般の場合は$\underbrace{a_{1},a_{1},...,a_{1}}_{D_{1}個},\underbrace{a_{2},a_{2},...,a_{2}}_{D_{2}個},...,\underbrace{a_{N_{2}},a_{N_{2}},...,a_{N_{2}}}_{D_{N_{2}}個}$の様なアルファベットを$1,2,...,D_{1}+D_{2}+\cdots+D_{N_{2}}$個のブロックに分割する方法を考えれば良い。
これをマルチセット分割と呼びます。
一応定義しましょう。
集合$M\coloneqq\{(a_{j},k)|j=1,2,...,N_{2},k=1,2,...,D_{k}\}$を考える。例えば$M=\{(a,1),(a,2),(b,1)\}$を考える。
この時、以下の様な集合をマルチセット集合と呼ぶ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{P}(M)\coloneqq\{\{B_{1}, B_{2},\cdots ,B_{m}\}|B_{i}=\{B_{1}\sqcup B_{2}\sqcup\cdots \sqcup B_{m}=M\}/\sim\\
\{B_{1},B_{2},...,B_{m}\}\sim\{C_{1},C_{2},...,C_{n}\}\overset{def}{\Leftrightarrow}m=nかつ任意のi\in[m]に対してあるj\in[m]が存在して\sharp B_{i}=\sharp C_{j}が成り立ち、さらに任意の(a_{i},k_{i_{1}}),(a_{i},k_{i_{2}}),...,(a_{i},k_{i_{N_{i}}})\in B_{i}を満たすものと(a_{i},l_{j_{1}}),(a_{i},l_{j_{2}}),...,(a_{i},l_{j_{N_{i}}})\in C_{j}の個数が等しい。
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
それでは問題の回答をしよう。
それを定理の形で述べておくと次の様になる。
$N_{1}$変数を持つ関数$f(x_{1},x_{2},...,x_{N_{1}})$と$N_{2}$変数を持つ関数列$\{g_{k}(x_{1},x_{2},...,x_{N_{2}})\}$があるとする。この時次の偏微分を求めるには次の計算を行えば良い。
\begin{equation}
\partial_{x_{1}}^{D_{1}}\partial_{x_{2}}^{D_{2}}\cdots\partial_{x_{N_{2}}}^{D_{N_{2}}}f(\vb*{g}(\vb*{x}))=\sum_{\pi\in\mathcal{P}(M)}\underbrace{\sharp[\pi]}_{同値類の個数}(\partial^{\sharp\pi}_{g_{i_{1}}g_{i_{2}}\cdots g_{i_{\sharp \pi}}}f)\prod_{k=1}^{\sharp\pi}\prod_{B_{k}\in\pi}\partial^{\sharp B_{k}}_{\prod_{j\in B_{k}}x_{j}}g_{i_{k}}
\end{equation}
ただし、$M\coloneqq\{(a_{j},k)|j=1,2,...,N_{2},k=1,2,...,D_{k}\}$とした。
$\sharp[\pi]$は同値類で潰した分の帳尻合わせ分の重みです。
💪積分応用編
それではいくつか応用してみよう。
$\lambda,\mu\in\mathbb{R}_{\geq 0}$とする。この時、次の問いに答えよ。
[1]任意の整数$M,N\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$に対して以下の積分を定めた時、これをマルチセット分割を用いて表せ。
\begin{equation}
I_{M,N}(\lambda,\mu)\coloneqq\int_{0}^{1}x^{\lambda-1}(1-x)^{\mu-1}(\log{x})^{M}\{\log{(1-x)}\}^{N}dx
\end{equation}
[2]$M=2,N=1$の場合について計算を行え。
[1]まず前者に関しては$M\coloneqq\{(a,k),(b,l)|k=1,2,...,M,l=1,2,...,N\},\lambda=x_{1},\mu=x_{2}$とおき計算を行えば良い。
\begin{eqnarray}
I_{M,N}(\lambda,\mu)&=&\partial^{M+N}_{\lambda^{M}\mu^{N}}\frac{\Gamma(\lambda)\Gamma(\mu)}{\Gamma(\lambda+\mu)}\\
&=&\partial^{M+N}_{\lambda^{M}\mu^{N}}e^{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}}\\
&=&\sum_{\pi\in\mathcal{P}(M)}\sharp[\pi]e^{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}}\prod_{k=1}^{\sharp\pi}\prod_{B_{k}\in\pi}\partial^{\sharp B_{k}}_{\prod_{j\in B_{k}}x_{j}}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}\\
&=&B(\lambda,\mu)\sum_{\pi\in\mathcal{P}(M)}\sharp[\pi]\prod_{k=1}^{\sharp\pi}\prod_{B_{k}\in\pi}\partial^{\sharp B_{k}}_{\prod_{j\in B_{k}}x_{j}}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}
\end{eqnarray}
[2]これは厳密にやるより少し手を抜きながらやる方がいい。
まずアルファベット$aab$を考えて、これを$1,2,3$ブロックに分割しよう。すると次の様になる。
1ブロック：$\{\{aab\}\}$
2ブロック:$\{\{aa\},\{b\}\},\underbrace{\{\{ab\},\{a\}\}}_{同値類は二つなので注意}$
3ブロック:$\{\{\{a\},\{a\},\{b\}\}\}$
このことから、次の様に計算すれば良い。
\begin{eqnarray}
I_{21}(\lambda,\mu)&=&B(\lambda,\mu)[\partial^{3}_{\lambda\lambda\mu}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}\\
&+&\partial^{2}_{\lambda\lambda}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}\partial_{\mu}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}\\
&+&2\partial^{2}_{\lambda\mu}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}\partial_{\lambda}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}\\
&+&\partial_{\lambda}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}\partial_{\lambda}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}\partial_{\mu}\{\log{\Gamma(\lambda)}+\log{\Gamma(\mu)}-\log{\Gamma(\lambda+\mu)}\}]\\
&=&B(\lambda,\mu)[-\psi^{(2)}(\lambda+\mu)\\
&+&\{\psi^{(1)}(\lambda)-\psi^{(1)}(\lambda+\mu)\}\{\psi(\mu)-\psi(\lambda+\mu)\}\\
&+&2\{-\psi^{(1)}(\lambda+\mu)\}\{\psi(\lambda)-\psi(\lambda+\mu)\}\\
&+&\{\psi(\lambda)-\psi(\lambda+\mu)\}^{2}\{\psi(\mu)-\psi(\lambda+\mu)\}]\\
&=&B(\lambda,\mu)[\{\psi(\mu)-\psi(\lambda+\mu)\}\{\{\psi(\lambda)-\psi(\lambda+\mu)\}^{2}\}+\{\psi^{(1)}(\lambda)-\psi^{(1)}(\lambda+\mu)\}\\
&-&2\{\psi(\lambda)-\psi(\lambda+\mu)\}\psi^{(1)}(\lambda+\mu)\\
&-&\psi^{(2)}(\lambda+\mu)]
\end{eqnarray}
下記の様な積分を求めよ。
\begin{equation}
(-1)^{N}\int_{0}^{\infty}x^{N}e^{-\alpha x}\sin{\beta x}dx
\end{equation}
[1]
$M=\{(a,1),(a,2),...,(a,N)\},x_{1}=\alpha$とおく。
\begin{eqnarray}
(-1)^{N}\int_{0}^{\infty}x^{N}e^{-\alpha x}\sin{\beta x}dx&=&\frac{\partial^{N}}{\partial \alpha^{N}}\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x}\sin{\beta x}dx\\
&=&\frac{\partial^{N}}{\partial \alpha^{N}}\{[-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha x}\sin{\beta x}]_{0}^{\infty}+\frac{\beta}{\alpha}\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x}\cos{\beta x}dx\}\\
&=&\frac{\partial^{N}}{\partial \alpha^{N}}\{[-\frac{\beta}{\alpha^{2}}e^{-\alpha x}\cos{\beta x}]_{0}^{\infty}-\frac{\beta^{2}}{\alpha^{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x}\sin{\beta x}\}\\
&=&\frac{\partial^{N}}{\partial \alpha^{N}}\frac{\beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\\
&=&\frac{\partial^{N}}{\partial \alpha^{N}}e^{\log{\beta}-\log{(\alpha^{2}+\beta^{2})}}\\
&=&e^{\log{\beta}-\log{(\alpha^{2}+\beta^{2})}}\sum_{\pi\in P(M)}\sharp[\pi]\prod_{k=1}^{\sharp \pi}\prod_{B_{k}\in\pi}\partial^{\sharp B_{k}}_{\prod_{j\in B_{k}}x_{j}}\{\log{\beta}-\log{(\alpha^{2}+\beta^{2})}\}
\end{eqnarray}
[2]
例えばアルファベット$\underbrace{a,a,...,a}_{N個}$を$m$ブロックに分割した場合の組み合わせは次の様
\begin{equation}
\underbrace{\{(a,i_{11})\},\{(a,i_{21})\},...,\{(a,i_{k_{1}1})\}}_{k_{1}個},\underbrace{\{(a,i_{211}),(a,i_{112})\},\{(a,i_{221}),(a,i_{222})\},...,\{(a,i_{2k_{2}1}),(a,i_{2k_{2}2})\}}_{k_{2}個},...,\underbrace{\{(a,i_{m11}),(a,i_{m12}),...,(a,i_{m1m})\},\{(a,i_{m21}),(a,i_{m22}),...,(a,i_{m2m})\},...,\{(a,i_{mk_{m}1}),(a,i_{mk_{m}2}),...,(a,i_{mk_{m}m})\}}_{k_{m}個}
\end{equation}
この様な分割方法の同値類は$\frac{N!}{(1!)^{k_{1}}(2!)^{k_{2}}\cdots (m!)^{k_{m}}k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}$通り。
ただし、$k_{1}+2k_{2}+\cdots+mk_{m}=N$とした。
この事を用いると
\begin{eqnarray}
(-1)^{N}\int_{0}^{\infty}x^{N}e^{-\alpha x}\sin{\beta x}dx&=&e^{\log{\beta}-\log{(\alpha^{2}+\beta^{2})}}\sum_{\pi\in P(M)}\sharp[\pi]\prod_{k=1}^{\sharp \pi}\prod_{B_{k}\in\pi}\partial^{\sharp B_{k}}_{\prod_{j\in B_{k}}x_{j}}\{\log{\beta}-\log{(\alpha^{2}+\beta^{2})}\}\\
&=&\frac{\beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\sum_{d=1}^{N}\sum_{\substack{(k_{1},k_{2},...,k_{N})\in\mathbb{Z}_{0}^{N}\\k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{N}=d\\k_{1}+2k_{2}+\cdots+Nk_{N}=N}}\frac{N!}{\prod_{l=1}^{N}(l!)^{k_{l}}k_{l}!}\prod_{m=1}^{N}[\frac{\partial^{m}}{\partial \alpha^{m}}\{\log{\beta}-\log{(\alpha^{2}+\beta^{2})}\}]^{k_{m}}\\
&=&\frac{\beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\sum_{d=1}^{N}\sum_{\substack{(k_{1},k_{2},...,k_{N})\in\mathbb{Z}_{0}^{N}\\k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{N}=d\\k_{1}+2k_{2}+\cdots+Nk_{N}=N}}\frac{N!}{\prod_{l=1}^{N}(l!)^{k_{l}}k_{l}!}\prod_{m=1}^{N}\{-\frac{\partial^{m}}{\partial\alpha^{m}}\log{(\alpha^{2}+\beta^{2})}\}^{k_{m}}
\end{eqnarray}
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