レビチビタ記号関連の公式の簡単な導出方法

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以下，特に断りがなければアインシュタインの縮約を適応する．
次のレビチビタ記号とクロネッカーのデルタの定義に注意せよ．

レビチビタ記号とクロネッカーのデルタ

$ε_{i j k} = {\begin{aligned} 1 (i, j, k が偶置換) \\ - 1 (i, j, k が奇置換) \\ 0 (otherwise) \end{aligned}, δ_{i j} = {\begin{aligned} 1 (i = j) \\ 0 (i \neq j) \end{aligned}$

ということは，単位ベクトル $e_{1} = (1, 0, 0)^{⊤}, e_{2} = (0, 1, 0)^{⊤}, e_{3} = (0, 0, 1)^{⊤}$ を用いて，
$ε_{i j k} = \det (e_{i} e_{j} e_{k}), δ_{i j} = e_{i}^{⊤} e_{j}$
と表せることに気付けるだろう．

$ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} = δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}}$

$\begin{aligned} ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} & = \det (e_{i} e_{j} e_{k}) \det (e_{i^{'}} e_{j^{'}} e_{k}) \\ = \det (\begin{array}{c} e_{i}^{⊤} \\ e_{j}^{⊤} \\ e_{k}^{⊤} \end{array}) \det (e_{i^{'}} e_{j^{'}} e_{k}) (∵ \det A^{⊤} = \det A) \\ = \det (\begin{array}{c} e_{i}^{⊤} e_{i^{'}} & e_{i}^{⊤} e_{j^{'}} & e_{i}^{⊤} e_{k} \\ e_{j}^{⊤} e_{i^{'}} & e_{j}^{⊤} e_{j^{'}} & e_{j}^{⊤} e_{k} \\ e_{k}^{⊤} e_{i^{'}} & e_{k}^{⊤} e_{j^{'}} & e_{k}^{⊤} e_{k} \end{array}) \\ = 1! \det (\begin{array}{c} e_{i}^{⊤} e_{i^{'}} & e_{i}^{⊤} e_{j^{'}} & 0 \\ e_{j}^{⊤} e_{i^{'}} & e_{j}^{⊤} e_{j^{'}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (= ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} (k \neq i, j, i^{'}, j^{'}, 和は取らない)) + (3 - 1!) \cdot 0 (= ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} (k = i, j, i^{'}, j^{'}, 和は取らない)) \\ = \det (\begin{array}{c} δ_{i i^{'}} & δ_{i^{'} j} \\ δ_{i j^{'}} & δ_{j j^{'}} \end{array}) \\ = δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}} . \end{aligned}$

同様に次も示せる．

$ε_{i j k} ε_{i^{'} j k} = 2 δ_{i i^{'}}$

$\begin{aligned} ε_{i j k} ε_{i^{'} j k} & = \det (e_{i} e_{j} e_{k}) \det (e_{i^{'}} e_{j} e_{k}) \\ = \det (\begin{array}{c} e_{i}^{⊤} \\ e_{j}^{⊤} \\ e_{k}^{⊤} \end{array}) \det (e_{i^{'}} e_{j} e_{k}) (∵ \det A^{⊤} = \det A) \\ = \det (\begin{array}{c} e_{i}^{⊤} e_{i^{'}} & e_{i}^{⊤} e_{j} & e_{i}^{⊤} e_{k} \\ e_{j}^{⊤} e_{i^{'}} & e_{j}^{⊤} e_{j} & e_{j}^{⊤} e_{k} \\ e_{k}^{⊤} e_{i^{'}} & e_{k}^{⊤} e_{j} & e_{k}^{⊤} e_{k} \end{array}) \\ = 2! \det (\begin{array}{c} e_{i}^{⊤} e_{i^{'}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (= ε_{i j k} ε_{i^{'} j k} (j, k \neq i, i^{'}, 和は取らない)) + (3^{2} - 2!) \cdot 0 (= ε_{i j k} ε_{i^{'} j k} (j, k = i, i^{'}, 和は取らない)) \\ = 2 δ_{i i^{'}} . \end{aligned}$

$ε_{i j k} ε_{i j k} = 6$

$\begin{aligned} ε_{i j k} ε_{i j k} & = \det (e_{i} e_{j} e_{k}) \det (e_{i^{'}} e_{j} e_{k}) \\ = \det (\begin{array}{c} e_{i}^{⊤} \\ e_{j}^{⊤} \\ e_{k}^{⊤} \end{array}) \det (e_{i} e_{j} e_{k}) (∵ \det A^{⊤} = \det A) \\ = \det (\begin{array}{c} e_{i}^{⊤} e_{i} & e_{i}^{⊤} e_{j} & e_{i}^{⊤} e_{k} \\ e_{j}^{⊤} e_{i} & e_{j}^{⊤} e_{j} & e_{j}^{⊤} e_{k} \\ e_{k}^{⊤} e_{i} & e_{k}^{⊤} e_{j} & e_{k}^{⊤} e_{k} \end{array}) \\ = 3! \det (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (= ε_{i j k} ε_{i j k} (i \neq j \neq k \neq i, 和は取らない)) + (3^{3} - 3!) \cdot 0 (= ε_{i j k} ε_{i j k} (otherwise, 和は取らない)) \\ = 6. \end{aligned}$

まあ，これに関してはあまり使わないし， $ε_{i j k} ε_{i j k} (i \neq j \neq k \neq i, 和は取らない) = 1$ だから $ε_{i j k} ε_{i j k} = 3! \cdot 1 = 6$ で終わりだが，一応アナロジーの参考として載せておいた．

スカラー三重積

$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$

結果がスカラーになる三重積だから"スカラー"三重積．
外積の定義 $a \times b = ε_{i j k} a_{j} b_{k}$ に注意せよ．

$a \cdot (b \times c) = a_{i} (ε_{i j k} b_{j} c_{k}) = ε_{i j k} a_{i} b_{j} c_{k}$ と $ε_{i j k} = ε_{j k i} = ε_{k i j}$ より，

$ε_{i j k} a_{i} b_{j} c_{k} = ε_{j k i} b_{j} c_{k} a_{i} = ε_{k i j} c_{k} a_{i} b_{j} ∴ a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$

ベクトル三重積

$a \times (b \times c) = b (a \cdot c) - c (a \cdot b)$

結果がベクトルになる三重積だから"ベクトル"三重積．

$\begin{aligned} a \times (b \times c) & = ε_{i j k} a_{j} (ε_{k i^{'} j^{'}} b_{i^{'}} c_{j^{'}}) \\ = ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} a_{j} b_{i^{'}} c_{j^{'}} \\ = (δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}}) a_{j} b_{i^{'}} c_{j^{'}} \\ = δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} a_{j} b_{i^{'}} c_{j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}} a_{j} b_{i^{'}} c_{j^{'}} \\ = b_{i} a_{j} c_{j} - c_{i} a_{j} b_{j} \\ = b (a \cdot c) - c (a \cdot b) . \end{aligned}$

余談だが，この結果を用いると

$\begin{aligned} \sum_{cyc} a \times (b \times c) & = \sum_{cyc} [b (a \cdot c) - c (a \cdot b)] \\ = \sum_{cyc} b (c \cdot a) - \sum_{cyc} c (a \cdot b) \\ = \sum_{cyc} b (c \cdot a) - \sum_{cyc} b (c \cdot a) (∵ \sum_{cyc} f (a, b, c) = \sum_{cyc} f (c, a, b)) \\ = 0 \end{aligned}$
だから，ベクトル三重積はヤコビの恒等式を満たすことが容易に分かる，

また， $(a \cdot b) c = b (a \cdot c) - a \times (b \times c)$ だから， $a, b \to \nabla$ と置き換えると，ベクトルラプラシアン

$Δ f = \nabla (\nabla \cdot f) - \nabla \times (\nabla \times f) = grad (div f) - rot (rot f)$
が分かる．

スカラー四重積

$(a \times b) \cdot (a^{'} \times b^{'}) = (a \cdot a^{'}) (b \cdot b^{'}) - (a^{'} \cdot b) (a \cdot b^{'})$

結果がスカラーになる四重積だから"スカラー"四重積．

$\begin{aligned} (a \times b) \cdot (a^{'} \times b^{'}) & = ε_{i j k} a_{j} b_{k} ε_{i j^{'} k^{'}} a_{j^{'}}^{'} b_{k^{'}}^{'} \\ = ε_{j k i} ε_{j^{'} k^{'} i} a_{j} b_{k} a_{j^{'}}^{'} b_{k^{'}}^{'} \\ = (δ_{j j^{'}} δ_{k k^{'}} - δ_{j^{'} k} δ_{j k^{'}}) a_{j} b_{k} a_{j^{'}}^{'} b_{k^{'}}^{'} \\ = δ_{j j^{'}} δ_{k k^{'}} a_{j} b_{k} a_{j^{'}}^{'} b_{k^{'}}^{'} - δ_{j^{'} k} δ_{j k^{'}} a_{j} b_{k} a_{j^{'}}^{'} b_{k^{'}}^{'} \\ = a_{j} a_{j}^{'} b_{k} b_{k}^{'} - a_{k}^{'} b_{k} a_{j} b_{j}^{'} \\ = (a \cdot a^{'}) (b \cdot b^{'}) - (a^{'} \cdot b) (a \cdot b^{'}) \end{aligned}$

$n = 3$ のビネ・コーシーの恒等式でもある． $a^{'} = a, b^{'} = b$ なら言うまでもなく $n = 3$ のラグランジュの恒等式
$| a |^{2} | b |^{2} = | a \cdot b |^{2} + | a \times b |^{2}$
であり，これは内積 $a \cdot b = | a | | b | \cos θ$ と外積の大きさ $| a \times b | = | a | | b | | \sin θ |$ と三角関数の定義からも容易に分かるだろう．

次を示せ

$(1) \nabla \cdot (f a) = \nabla f \cdot a + f \nabla \cdot a$
$(2) \nabla \times (f a) = \nabla f \times a + f \nabla \times a$

$(3) \nabla \cdot (a \times b) = b \cdot (\nabla \times a) - a \cdot (\nabla \times b)$

$(4) \nabla \times (a \times b) = (b \cdot \nabla) a - (a \cdot \nabla) b + a (\nabla \cdot b) - b (\nabla \cdot a)$

$(5) \nabla (a \cdot b) = (b \cdot \nabla) a + (a \cdot \nabla) b + a \times (\nabla \times b) + b \times (\nabla \times a)$

$(6) V = - \nabla f + \nabla \times A$ (ヘルムホルツの分解定理)

(1)

解答

$\begin{aligned} \nabla \cdot (f a) & = \partial_{i} (f a_{i}) \\ = \partial_{i} f \cdot a_{i} + f \cdot \partial_{i} a_{i} \\ = \nabla f \cdot a + f \nabla \cdot a \end{aligned}$

(2)

解答

$\begin{aligned} \nabla \times (f a) & = ε_{i j k} \partial_{j} (f a_{k}) \\ = ε_{i j k} \partial_{j} f \cdot a_{k} + ε_{i j k} f \cdot \partial_{j} a_{k} \\ = ε_{i j k} \partial_{j} f \cdot a_{k} + f \cdot ε_{i j k} \partial_{j} a_{k} \\ = \nabla f \times a + f \nabla \times a \end{aligned}$

(3)

解答

$\begin{aligned} \nabla \cdot (a \times b) & = \partial_{i} (ε_{i j k} a_{j} b_{k}) \\ = ε_{i j k} \partial_{i} a_{j} \cdot b_{k} + ε_{i j k} a_{j} \cdot \partial_{i} b_{k} \\ = b_{k} ε_{k i j} \partial_{i} a_{j} - a_{j} ε_{j i k} \partial_{i} b_{k} \\ = b \cdot (\nabla \times a) - a \cdot (\nabla \times b) \end{aligned}$

(4)

解答

$\begin{aligned} \nabla \times (a \times b) & = ε_{i j k} \partial_{j} (ε_{k i^{'} j^{'}} a_{i^{'}} b_{j^{'}}) \\ = ε_{i j k} ε_{k i^{'} j^{'}} (\partial_{j} a_{i^{'}} \cdot b_{j^{'}} + a_{i^{'}} \cdot \partial_{j} b_{j^{'}}) \\ = ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} \partial_{j} a_{i^{'}} \cdot b_{j^{'}} + ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} a_{i^{'}} \cdot \partial_{j} b_{j^{'}} \\ = (δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}}) \partial_{j} a_{i^{'}} \cdot b_{j^{'}} + (δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}}) a_{i^{'}} \cdot \partial_{j} b_{j^{'}} \\ = δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} \partial_{j} a_{i^{'}} \cdot b_{j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}} \partial_{j} a_{i^{'}} \cdot b_{j^{'}} + δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} a_{i^{'}} \cdot \partial_{j} b_{j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}} a_{i^{'}} \cdot \partial_{j} b_{j^{'}} \\ = \partial_{j} a_{i} \cdot b_{j} - \partial_{j} a_{j} \cdot b_{i} + a_{i} \cdot \partial_{j} b_{j} - a_{j} \cdot \partial_{j} b_{i} \\ = b_{j} \partial_{j} a_{i} - a_{j} \partial_{j} b_{i} + a_{i} \partial_{j} b_{j} - b_{i} \partial_{j} a_{j} \\ = (b \cdot \nabla) a - (a \cdot \nabla) b + a (\nabla \cdot b) - b (\nabla \cdot a) \end{aligned}$

(5)

解答

$\begin{aligned} \nabla (a \cdot b) & = \partial_{i} (a_{j} b_{j}) \\ = \partial_{i} a_{j} \cdot b_{j} + a_{j} \cdot \partial_{i} b_{j} \\ = δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} \cdot b_{j} + a_{j} \cdot δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} \partial_{i^{'}} b_{j^{'}} \\ = (ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} + δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}}) \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} \cdot b_{j} + a_{j} \cdot (ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} + δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}}) \partial_{i^{'}} b_{j^{'}} \\ = δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} \cdot b_{j} + δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}} a_{j} \cdot \partial_{i^{'}} b_{j^{'}} + ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} a_{j} \cdot \partial_{i^{'}} b_{j^{'}} + ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} \cdot b_{j} \\ = b_{j} \partial_{j} a_{i} + a_{j} \partial_{j} b_{i} + ε_{i j k} a_{j} (ε_{k i^{'} j^{'}} \partial_{i^{'}} b_{j^{'}}) + ε_{i j k} b_{j} (ε_{k i^{'} j^{'}} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}}) \\ = (b \cdot \nabla) a + (a \cdot \nabla) b + a \times (\nabla \times b) + b \times (\nabla \times a) \end{aligned}$

(6)

解答

$\begin{aligned} \nabla \cdot (\nabla \times (\nabla \times a)) & = \partial_{i} ε_{i j k} \partial_{j} ε_{k i^{'} j^{'}} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} \\ = ε_{i j k} ε_{i^{'} j^{'} k} \partial_{i} \partial_{j} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} \\ = (δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}}) \partial_{i} \partial_{j} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} \\ = δ_{i i^{'}} δ_{j j^{'}} \partial_{i} \partial_{j} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} - δ_{i^{'} j} δ_{i j^{'}} \partial_{i} \partial_{j} \partial_{i^{'}} a_{j^{'}} \\ = \partial_{i} \partial_{j} \partial_{i} a_{j} - \partial_{i} \partial_{j} \partial_{j} a_{i} \\ = \partial_{i} \partial_{i} \partial_{j} a_{j} - \partial_{i} \partial_{i} \partial_{j} a_{j} \\ = 0 \\ = 0 . . . \nabla \times (\nabla \times a) は湧き出しなし場 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2 \nabla \times (\nabla (\nabla \cdot a)) & = 2 ε_{i j k} \partial_{j} \partial_{k} (\partial_{l} a_{l}) \\ = ε_{i j k} \partial_{j} \partial_{k} \partial_{l} a_{l} + ε_{i j k} \partial_{j} \partial_{k} \partial_{l} a_{l} \\ = ε_{i j k} \partial_{j} \partial_{k} \partial_{l} a_{l} - ε_{i k j} \partial_{k} \partial_{j} \partial_{l} a_{l} \\ = ε_{i j k} \partial_{j} \partial_{k} \partial_{l} a_{l} - ε_{i j k} \partial_{j} \partial_{k} \partial_{l} a_{l} \\ = 0 \\ = 0 . . . \nabla (\nabla \cdot a) は渦なし場 \end{aligned}$

また，

$\begin{aligned} \nabla \cdot Δ a & = \partial_{i} \partial_{j} \partial_{j} a_{i} \\ = \partial_{j} \partial_{j} \partial_{i} a_{i} \\ = Δ (\nabla \cdot a) . . . Δ a は湧き出しなし場とは限らない． \end{aligned}$

$\begin{aligned} \nabla \times Δ a & = ε_{i j k} \partial_{j} \partial_{l} \partial_{l} a_{k} \\ = \partial_{l} \partial_{l} ε_{i j k} \partial_{j} a_{k} \\ = Δ (\nabla \times a) . . . Δ a は渦なし場とは限らない． \end{aligned}$
であり，公式5で書いたように
$Δ a = \nabla (\nabla \cdot a) - \nabla \times (\nabla \times a)$ だから， $Δ a$ は，それ自身は渦なし場，湧き出しなし場でなくとも，渦なし場と湧き出しなし場に一意に分解できる．
以上より， $V = Δ a$ なる $a$ に対し， $f = - \nabla \cdot a, A = - \nabla \times a$ $(Δ f = - \nabla \cdot V, Δ A = - \nabla \times V)$ と置け，題意を得る．