行列式の定義を理解する

教科書の行列式の定義式が簡潔すぎてイメージできないので、ゴチャゴチャ考えて
噛み砕こうとした話。多少はイメージしやすくなった……か？

「行」を「列」に読み替えて議論しても同じように行列式を構成できる。
→$|A^{\mathrm{T}}|=|A|$

• 列の交換
  　交換後の行列を$A'$とする。$A'$を$A$に戻す操作で$\langle \boldsymbol{v}_1,-1,A \rangle$ができることに注目。
  　$F$の要素(の$s$)の符号が（$A$の場合と比較して）すべて反転するので
  　$|A'|=-|A|$
• 列を$k$倍する。
  　その行列を$A'$とする。列の交換操作について考えると、
  　$k$倍された数が$X$の対角成分に必ず$1$つ入る。
  　$p_e$がすべて$k$倍されるので$|A'|=k|A|$
• 同じ内容の列がある
  　任意の$F$の要素$e$について、該当の$2$列を入れ替えた要素$e'$が存在する。
  　$e'$は$e$の符号違いなので行列式の計算において打ち消し合う。よって
  　$|A|=0$

多重線形性

行列$A$の$i$行目に注目しつつ、行列式について考える。
行列式を$a_{i1},a_{i2},a_{i3},\ldots,a_{ik},\ldots, a_{in}$でくくると
括りだされたものを$t$として
$$|A|=a_{i1}t_{1}+a_{i2}t_{2}+a_{i3}t_{3}+\cdots+a_{ik}t_k+\cdots+a_{in}t_{n}\tag{☆}$$

数列$\{\alpha_n\}$,$\{\beta_n\}$を用いて
行列$A$の$i$行目（$a_{i1}$～$a_{in}$）に$\alpha_k$,$\beta_k$を代入した行列をそれぞれ$A_{\alpha}$,$A_{\beta}$とすると☆式より
$$|A_{\alpha}|=\alpha_1 t_{1}+\alpha_2t_{2}+\alpha_3t_{3}+\cdots+\alpha_nt_{n}$$
$$|A_{\beta}|=\beta_1 t_{1}+\beta_2 t_{2}+\beta_3 t_{3}+\cdots+\beta_n t_{n}$$
よって
$\gamma_k=\alpha_k+\beta_k$とすると
$$|A_{\alpha}|+|A_{\beta}|=|A_{\gamma}|$$
※ここで$|A_{\gamma}|$は行列$A$の$i$行目（$a_{ik}$）に$\gamma_k$を代入したもの。
よって、行列式の行において多重線形性が成り立つ。
行と列を入れ替えても同じ議論ができるので
行列式の列においても多重線形性が成り立つ。

余因子展開

$j$列目の余因子展開を考える。つまり次の$t_k$について調べていく。
$$|A|=a_{1j}\cdot t_{1} + a_{2j}\cdot t_{2} + a_{3j}\cdot t_{3} + \cdots +a_{kj} \cdot t_{k}+ \cdots +a_{nj}\cdot t_{n}$$
$a_{kj}$が$p_e$に登場するのは$a_{kj}$が$X$の対角成分に含まれるとき。
よって行列式における$a_{kj}$の係数を考える際に考慮すべき$X$は
$A$の$j$列目が$k$列目に移動したもの。

まず、$A$の$j$列目を$k$列目に移動させる。
ただし、他の列の並び順を変えたくないので、移動は隣接互換の繰り返しで行う。
$|j-k|$回必要なので、この時点で$s=(-1)^{j-k}$。$(-1)^{2k}$をかけて$s=(-1)^{k+j}$として良い。
この「組」を起点とする。

$k$列目を固定、他の列を入れ替えたときの$X$,$p_e$を考えていく。
$k$行目,$k$列目を除外した小行列（$M_k$とする）を観察しながら$a_{kj}$の係数を考えると、
$M_k$の行列式を構成する手順が含まれていることが分かる。よって
$$t_k=(-1)^{k+j}|M_k|$$

「行」を「列」に読み替えた議論のための参考として、次を考えておく（自明？）。