大学数学基礎解説

行列式の定義を理解する

行列式

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教科書の行列式の定義式が簡潔すぎてイメージできないので、ゴチャゴチャ考えて
噛み砕こうとした話。多少はイメージしやすくなった……か？

行列式の構成 by 行ベクトル

$v_{0} = (1, 2, \dots, n)$ として、次のような $⟨$ 行ベクトル、整数、行列 $⟩$ の組を考える。
$⟨ v_{0}, 1, A ⟩$

この「組」に対して、次の操作によって得られる「組」をすべて集めた集合を $F$ とする。

1. ベクトルの

i

列目と

j

列目を入れ替える
　　整数を

- 1

倍する。
　　行列の

i

列目と

j

列目を入れ替える
　　　　　　　　　　　　（

i

j

は適当）
2. 1.を有限回おこなう

$F$ の要素を $e = ⟨ v, s, X ⟩$ として、次の $p_{e}$ を考える。

p_{e}

は「整数

s

」と「行列

X

の対角成分」をすべて掛け合わせたもの

つまり

p_{e} = s \cdot x_{11} \cdot x_{22} \dots x_{n n}

v \in S

であり、

v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}, \dots, v_{n})

とおくと、次のようにも書ける。

p_{e} = s \cdot a_{1 v_{1}} \cdot a_{2 v_{2}} \dots a_{n v_{n}}

また、この操作では $v$ に対する $s$ が一意に定まることが知られており、
$s = sgn (v)$ と書くこともできる。

集合

F

全体にわたって

p_{e}

を足し合わせたものを、行列

A

の行列式という。

\det A = | A | = \sum_{e \in F} p_{e}

教科書で馴染みの正式な定義はこちら。
$| A | = \sum_{σ \in S} sgn (σ) \cdot a_{1 σ_{1}} \cdot a_{2 σ_{2}} \cdot a_{3 σ_{3}} \dots a_{n σ_{n}}$

※ $S$ は対称群

「行」を「列」に読み替えて議論しても同じように行列式を構成できる。
→ $| A^{T} | = | A |$

列の交換
　交換後の行列を $A^{'}$ とする。 $A^{'}$ を $A$ に戻す操作で $⟨ v_{1}, - 1, A ⟩$ ができることに注目。
　 $F$ の要素(の $s$ )の符号が（ $A$ の場合と比較して）すべて反転するので
　 $| A^{'} | = - | A |$
列を $k$ 倍する。
　その行列を $A^{'}$ とする。列の交換操作について考えると、
　 $k$ 倍された数が $X$ の対角成分に必ず $1$ つ入る。
　 $p_{e}$ がすべて $k$ 倍されるので $| A^{'} | = k | A |$
同じ内容の列がある
　任意の $F$ の要素 $e$ について、該当の $2$ 列を入れ替えた要素 $e^{'}$ が存在する。
　 $e^{'}$ は $e$ の符号違いなので行列式の計算において打ち消し合う。よって
　 $| A | = 0$

多重線形性

行列 $A$ の $i$ 行目に注目しつつ、行列式について考える。
行列式を $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \dots, a_{i k}, \dots, a_{i n}$ でくくると
括りだされたものを $t$ として
$\begin{matrix} (☆) & | A | = a_{i 1} t_{1} + a_{i 2} t_{2} + a_{i 3} t_{3} + \dots + a_{i k} t_{k} + \dots + a_{i n} t_{n} \end{matrix}$

行列式の計算において、 $p_{e}$ に注目すると、
掛け合わされている個々の要素で行番号が重なることはない。
よって $t_{k} は a_{i ○}$ を含まない。

数列 ${α_{n}}$ , ${β_{n}}$ を用いて
行列 $A$ の $i$ 行目（ $a_{i 1}$ ～ $a_{i n}$ ）に $α_{k}$ , $β_{k}$ を代入した行列をそれぞれ $A_{α}$ , $A_{β}$ とすると☆式より
$| A_{α} | = α_{1} t_{1} + α_{2} t_{2} + α_{3} t_{3} + \dots + α_{n} t_{n}$
$| A_{β} | = β_{1} t_{1} + β_{2} t_{2} + β_{3} t_{3} + \dots + β_{n} t_{n}$
よって
$γ_{k} = α_{k} + β_{k}$ とすると
$| A_{α} | + | A_{β} | = | A_{γ} |$
※ここで $| A_{γ} |$ は行列 $A$ の $i$ 行目（ $a_{i k}$ ）に $γ_{k}$ を代入したもの。
よって、行列式の行において多重線形性が成り立つ。
行と列を入れ替えても同じ議論ができるので
行列式の列においても多重線形性が成り立つ。

余因子展開

$j$ 列目の余因子展開を考える。つまり次の $t_{k}$ について調べていく。
$| A | = a_{1 j} \cdot t_{1} + a_{2 j} \cdot t_{2} + a_{3 j} \cdot t_{3} + \dots + a_{k j} \cdot t_{k} + \dots + a_{n j} \cdot t_{n}$
$a_{k j}$ が $p_{e}$ に登場するのは $a_{k j}$ が $X$ の対角成分に含まれるとき。
よって行列式における $a_{k j}$ の係数を考える際に考慮すべき $X$ は
$A$ の $j$ 列目が $k$ 列目に移動したもの。

まず、 $A$ の $j$ 列目を $k$ 列目に移動させる。
ただし、他の列の並び順を変えたくないので、移動は隣接互換の繰り返しで行う。
$| j - k |$ 回必要なので、この時点で $s = (- 1)^{j - k}$ 。 $(- 1)^{2 k}$ をかけて $s = (- 1)^{k + j}$ として良い。
この「組」を起点とする。

$k$ 列目を固定、他の列を入れ替えたときの $X$ , $p_{e}$ を考えていく。
$k$ 行目, $k$ 列目を除外した小行列（ $M_{k}$ とする）を観察しながら $a_{k j}$ の係数を考えると、
$M_{k}$ の行列式を構成する手順が含まれていることが分かる。よって
$t_{k} = (- 1)^{k + j} | M_{k} |$

「行」を「列」に読み替えた議論のための参考として、次を考えておく（自明？）。

$S$ を対称群とする。次のように定義される集合 $X, Y$ は等しい。
$X = {S \in q | {(1, q_{1}), (2, q_{2}), (3, q_{3}), \dots, (n, q_{n})}}$
$Y = {S \in q | {(q_{1}, 1), (q_{2}, 2), (q_{3}, 3), \dots, (q_{n}, n)}}$

表示

X

のある要素

x

について

x = {(1, q_{1}), (2, q_{2}), (3, q_{3}), \dots, (n, q_{n})}

とする。

(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dots, q_{n})

は

S

の元なのでそれぞれ

1

～

n

のどれかである。よって、小さい順にならべて

1, 2, 3, \dots, n

とできる。
同じ手順で

x

の要素を並べると、

Y

の要素と同じ形になる。
よって、

x \in Y

。
任意の

X

の要素に対して同じ議論ができるので

X \subset Y

同様に

Y

の要素を

X

の要素の形にできるので

X \supset Y

よって

X = Y

投稿日：2024年5月8日

更新日：2024年5月10日

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