Baileyの積公式のMellin-Barnes積分類似2

前の記事 で示した系1, 系2をまとめると以下のようになる.

1つ目の式に$x^{d-1}(1-x)^{e-1}$を掛けて$(0,1)$で積分すると
\begin{align} &\int_0^1x^{d-1}(1-x)^{e-1}\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{c}{1-x}\,dx\\ &=\frac{2^{a+b-1}\Gamma(c)^2}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\\ &\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma\left(\frac{a+b}2+s\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2+s\right)\Gamma(c-a-b-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)\Gamma(a+b+s)}4^s\,ds\int_0^1x^{d+s-1}(1-x)^{e+s-1}\,dx\\ &=\frac{2^{a+b-1}\Gamma(c)^2}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\\ &\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma\left(\frac{a+b}2+s\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2+s\right)\Gamma(c-a-b-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)\Gamma(a+b+s)}4^s\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(e+s)}{\Gamma(d+e+2s)}\,ds\\ &=\frac{2^{a+b-d-e}\Gamma(c)^2}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\\ &\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(d+s)\Gamma(e+s)\Gamma\left(\frac{a+b}2+s\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2+s\right)\Gamma(c-a-b-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)\Gamma(a+b+s)\Gamma\left(\frac{d+e}2+s\right)\Gamma\left(\frac{d+e+1}2+s\right)}\,ds \end{align}
となる. 全く同様に2つ目の式に$x^{d-1}(1-x)^{e-1}$を掛けて$(0,1)$で積分すると
\begin{align} &\int_0^1\left(\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}+\F21{a,b}{c}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\right)x^{d-1}(1-x)^{e-1}\,dx\\ &\qquad-\frac{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(1-c)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}\int_0^1\F21{a,b}c{x}\F21{a,b}c{1-x}x^{d-1}(1-x)^{e-1}\,dx\\ &\qquad-\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\int_0^1\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}x^{d-1}(1-x)^{e-1}\,dx\\ &= \frac{2^{a+b-d-e}\Gamma(c)\Gamma(1+a+b-c)}{\pi\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac{\sin\pi a\sin\pi b\sin\pi(a+b)}{\sin\pi c\sin\pi(c-a-b)}\\ &\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(d+s)\Gamma(e+s)\Gamma\left(\frac{a+b}2+s\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2+s\right)\Gamma(1-a-b-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)\Gamma(1+a+b-c+s)\Gamma\left(\frac{d+e}2+s\right)\Gamma\left(\frac{d+e+1}2+s\right)}\,ds \end{align}
が得られる. まとめると以下を得る.

左辺のそれぞれの項を級数表示してみる. まず, 項別積分により
\begin{align} &\int_0^1x^{d-1}(1-x)^{e-1}\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{c}{1-x}\,dx\\ &=\sum_{0\leq m,n}\frac{(a,b)_m}{m!(c)_m}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\int_0^1x^{m+d-1}(1-x)^{n+e-1}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(d)\Gamma(e)}{\Gamma(d+e)}\sum_{0\leq m,n}\frac{(a,b,d)_m(a,b,e)_n}{m!(c)_mn!(c)_n(d+e)_{m+n}} \end{align}
となる. 同様に,
\begin{align} &\int_0^1\left(\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}+\F21{a,b}{c}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\right)x^{d-1}(1-x)^{e-1}\,dx\\ &=\int_0^1\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}(x^{d-1}(1-x)^{e-1}+x^{e-1}(1-x)^{d-1})\,dx\\ &=\sum_{0\leq m,n}\frac{(a,b)_m(a,b)_n}{m!(c)_mn!(1+a+b-c)_n}\int_0^1x^{m+n}(x^{d-1}(1-x)^{e-1}+x^{e-1}(1-x)^{d-1})\,dx\\ &=\frac{\Gamma(d)\Gamma(e)}{\Gamma(d+e)}\sum_{0\leq m,n}\frac{(a,b)_m(a,b)_n}{m!(c)_mn!(1+a+b-c)_n}\left(\frac{(d)_{m+n}}{(d+e)_{m+n}}+\frac{(e)_{m+n}}{(d+e)_{m+n}}\right) \end{align}
となる. 残りの項もこのように展開すると系1は以下のように書き換えられる.

系1において, 特に$d=a,e=b$の場合
\begin{align} &\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{c}{1-x}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(c)^2}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)^2\Gamma(b+s)^2\Gamma(c-a-b-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)\Gamma(a+b+s)}\,ds\\ &\int_0^1\left(\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}+\F21{a,b}{c}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\right)x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx\\ &\qquad-\frac{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(1-c)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}\int_0^1\F21{a,b}c{x}\F21{a,b}c{1-x}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx\\ &\qquad-\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\int_0^1\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx\\ &= \frac{\Gamma(c)\Gamma(1+a+b-c)}{\pi\Gamma(a)\Gamma(b)}\frac{\sin\pi a\sin\pi b\sin\pi(a+b)}{\sin\pi c\sin\pi(c-a-b)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)^2\Gamma(b+s)^2\Gamma(1-a-b-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)\Gamma(1+a+b-c+s)}\,ds \end{align}
となって右辺がシンプルになる. Non-terminating Whippleの変換公式のMellin-Barnes積分表示 を用いれば, これらはそれぞれ
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)^2\Gamma(b+s)^2\Gamma(c-a-b-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)\Gamma(a+b+s)}\,ds\\ &=\frac{\Gamma(a)^2\Gamma(b)^2\Gamma(a+c)\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)^2}{\Gamma(c)^3\Gamma(a+b)\Gamma(a+c-b)}\F76{a+c-1,\frac{a+c+1}2,a,c-b,a,a,b}{\frac{a+c-1}2,c,a+b,c,c,a+c-b}{1}\\ &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)^2\Gamma(b+s)^2\Gamma(1-a-b-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)\Gamma(1+a+b-c+s)}\,ds\\ &=\frac{\Gamma(a)^2\Gamma(a+1)\Gamma(b)^2\Gamma(1-a)^2\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)}\F76{a,1+\frac a2,c-b,1+a-c,a,a,b}{\frac a2,1+a+b-c,c,1,1,1+a-b}1\\ &=\frac{\pi^2\Gamma(a)\Gamma(a+1)\Gamma(1-a)\Gamma(b)}{\sin\pi a\sin\pi b\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)}\F76{a,1+\frac a2,c-b,1+a-c,a,a,b}{\frac a2,1+a+b-c,c,1,1,1+a-b}1 \end{align}
であるからこれらを代入すると,
\begin{align} &\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{c}{1-x}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(a+c)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(a+b)\Gamma(a+c-b)}\F76{a+c-1,\frac{a+c+1}2,a,c-b,a,a,b}{\frac{a+c-1}2,c,a+b,c,c,a+c-b}{1}\\ &\int_0^1\left(\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}+\F21{a,b}{c}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\right)x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx\\ &\qquad-\frac{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(1-c)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}\int_0^1\F21{a,b}c{x}\F21{a,b}c{1-x}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx\\ &\qquad-\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\int_0^1\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx\\ &=\frac{\sin\pi(a+b)}{\sin\pi c\sin\pi(c-a-b)}\frac{\pi\Gamma(a+1)\Gamma(1-a)}{\Gamma(1+a-b)}\F76{a,1+\frac a2,c-b,1+a-c,a,a,b}{\frac a2,1+a+b-c,c,1,1,1+a-b}1\\ &=\frac{\pi^2 a\sin\pi(a+b)}{\Gamma(1+a-b)\sin\pi a\sin\pi c\sin\pi(c-a-b)}\F76{a,1+\frac a2,c-b,1+a-c,a,a,b}{\frac a2,1+a+b-c,c,1,1,1+a-b}1 \end{align}
となる. つまり, 以下を得る.

1つ目の式は先ほどのように左辺を級数展開すると,
\begin{align} \sum_{0\leq m,n}\frac{(a,a,b)_m(a,b,b)_n}{m!(c)_mn!(c)_n(a+b)_{m+n}}=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(a+c-b)}\F76{a+c-1,\frac{a+c+1}2,a,a,a,b,c-b}{\frac{a+c-1}2,c,c,c,a+c-b,a+b}{1} \end{align}
と簡潔な形で表される.