Non-terminating Whippleの変換公式

Barnesの第2補題 より
$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-f)\mathrm{\Gamma }(1+a-e-f)\mathrm{\Gamma }(d+n)\mathrm{\Gamma }(e+n)\mathrm{\Gamma }(f+n)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-d+n)\mathrm{\Gamma }(1+a-e+n)\mathrm{\Gamma }(1+a-f+n)}\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(d+s)\mathrm{\Gamma }(e+s)\mathrm{\Gamma }(f+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e-f-s)\mathrm{\Gamma }(n-s)}{\mathrm{\Gamma }(1+a+s+n)}ds\end{array}$$
より, 両辺に
$$\begin{array}{r}\frac{(a,1+\frac{a}{2},b,c{)}_n}{n!(\frac{a}{2},1+a-b,1+a-c{)}_n}\end{array}$$
を掛けて足し合わせると,
$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-f)\mathrm{\Gamma }(1+a-e-f)\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(e)\mathrm{\Gamma }(f)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-f)}\\ & \cdot {}_7{F}_6[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c,d,e,f\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f\end{array};1]\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(d+s)\mathrm{\Gamma }(e+s)\mathrm{\Gamma }(f+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e-f-s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(1+a+s)}ds{}_5{F}_4[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c,-s\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a+s\end{array};1]\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(d+s)\mathrm{\Gamma }(e+s)\mathrm{\Gamma }(f+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e-f-s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-c+s)}ds\end{array}$$
となって示される. ここで, Dougallの${}_5{F}_4$の和公式
$$\begin{array}{rl}{}_5{F}_4[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c,-s\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a+s\end{array};1]& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c+s)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-b+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-c+s)}\end{array}$$
を用いた.