Non-terminating Whippleの変換公式

Barnesの第2補題 より
\begin{align} &\frac{\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)\Gamma(d+n)\Gamma(e+n)\Gamma(f+n)}{\Gamma(1+a-d+n)\Gamma(1+a-e+n)\Gamma(1+a-f+n)}\\ &=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(e+s)\Gamma(f+s)\Gamma(1+a-d-e-f-s)\Gamma(n-s)}{\Gamma(1+a+s+n)}\,ds \end{align}
より, 両辺に
\begin{align} \frac{(a,1+\frac a2,b,c)_n}{n!(\frac a2,1+a-b,1+a-c)_n} \end{align}
を掛けて足し合わせると,
\begin{align} &\frac{\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)}{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}\\ &\qquad\cdot\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(e+s)\Gamma(f+s)\Gamma(1+a-d-e-f-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1+a+s)}\,ds\F54{a,1+\frac a2,b,c,-s}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a+s}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(e+s)\Gamma(f+s)\Gamma(1+a-b-c+s)\Gamma(1+a-d-e-f-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1+a-b+s)\Gamma(1+a-c+s)}\,ds \end{align}
となって示される. ここで, Dougallの${}_5F_4$の和公式
\begin{align} \F54{a,1+\frac a2,b,c,-s}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a+s}1&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a+s)\Gamma(1+a-b-c+s)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b+s)\Gamma(1+a-c+s)} \end{align}
を用いた.