Gasper-Rahmanによるbibasic超幾何級数の和公式
次はGasper-Rahmanによって1990年に示された等式である.
\begin{align} &\sum_{k=-m}^n\frac{(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)}{(1-ad)(1-b/d)}\frac{(a,b;p)_k(c,ad^2/bc;q)_k}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}q^k\\ &=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\\ &\cdot \left(\frac{(ap,bp;p)_n(cq,ad^2q/bc;q)_n}{(dq,adq/b;q)_n(adp/c,bcp/d;p)_n}-\frac{(c/ad,d/bc;p)_{m+1}(1/d,b/ad;q)_{m+1}}{(1/c,bc/ad^2;q)_{m+1}(1/a,1/b;q)_{m+1}}\right) \end{align}
\begin{align}
s_k:=\frac{(ap,bp;p)_k(cq,ad^2q/bc;q)_k}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}
\end{align}
とする.
\begin{align}
s_k-s_{k-1}&=\frac{(ap,bp;p)_{k-1}(cq,ad^2q/bc;q)_{k-1}}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}\\
&\cdot((1-ap^k)(1-bp^k)(1-cq^k)(1-ad^2q^k/bc)-(1-dq^k)(1-adq^k/b)(1-adp^k/c)(1-bcp^k/d))
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&(1-ap^k)(1-bp^k)(1-cq^k)(1-ad^2q^k/bc)-(1-dq^k)(1-adq^k/b)(1-adp^k/c)(1-bcp^k/d)\\
&=d(1-c/d)(1-ad/bc)(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)q^k
\end{align}
が成り立つ(これは$k=0$の場合を示してから$a\mapsto ap^k,b\mapsto bp^k,c\mapsto cq^k,d\mapsto dq^k$とするとよい). よって,
\begin{align}
s_k-s_{k-1}&=\frac{(ap,bp;p)_{k-1}(cq,ad^2q/bc;q)_{k-1}}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}d(1-c/d)(1-ad/bc)(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)q^k\\
&=\frac{d(1-c/d)(1-ad/bc)(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}\frac{(a,b;p)_{k}(c,ad^2/bc;q)_{k}}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}q^k\\
&=\frac{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}\\
&\cdot\frac{(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)}{(1-ad)(1-b/d)}\frac{(a,b;p)_{k}(c,ad^2/bc;q)_{k}}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}q^k
\end{align}
よって, これを足し合わせると,
\begin{align}
&\sum_{k=-m}^n\frac{(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)}{(1-ad)(1-b/d)}\frac{(a,b;p)_k(c,ad^2/bc;q)_k}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}q^k\\
&=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}(s_n-s_{-m-1})\\
&=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\\
&\cdot\left(\frac{(ap,bp;p)_n(cq,ad^2q/bc;q)_n}{(dq,adq/b;q)_n(adp/c,bcp/d;p)_n}-\frac{(c/ad,d/bc;p)_{m+1}(1/d,b/ad;q)_{m+1}}{(1/c,bc/ad^2;q)_{m+1}(1/a,1/b;q)_{m+1}}\right)
\end{align}
となって定理を得る.
特に$d=1, m=0$として以下を得る. これはGasperによって1989年に示された公式である.
\begin{align} \sum_{k=0}^n\frac{(1-ap^kq^k)(1-bp^kq^{-k})}{(1-a)(1-b)}\frac{(a,b;p)_k(c,a/bc;q)_k}{(q,aq/b;q)_k(ap/c,bcp;p)_k}q^k&=\frac{(ap,bp;p)_n(cq,aq/bc;q)_n}{(q,aq/b;q)_n(ap/c,bcp;p)_n} \end{align}
特に$b\to 0$として以下を得る. これはGosperによる公式である.
\begin{align} \sum_{k=0}^n\frac{1-ap^kq^k}{1-a}\frac{(a;p)_k(c;q)_k}{(q;q)_k(ap/c;p)_k}c^{-k}&=\frac{(ap;p)_n(cq;q)_n}{(q;q)_n(ap/c;p)_n}c^{-n} \end{align}
系1において$p=q$とすると, 以下を得る.
\begin{align} \sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,b,c,a/bc;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,bcq;q)_k}q^k=\frac{(aq,bq,cq,aq/bc;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,bcq;q)_n} \end{align}
これはJacksonの和公式からも従う ${}_6\phi_5$の部分和の和公式 である.
