6φ5のq超幾何級数の部分和の和公式
非負整数$n$に対して,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,a/bc;q)_k}{(1-a)(aq/b,aq/c,bcq,q;q)_k}q^k&=\frac{(aq,bq,cq,aq/bc;q)_n}{(aq/b,aq/c,bcq,q;q)_n}
\end{align}
が成り立つ.
Jacksonの${}_8\phi_7$和公式
\begin{align}
\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}q&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_n}\qquad(a^2q^{n+1}=bcde)
\end{align}
より, $e=aq^{n+1}$とすると, $d=a/bc$となり,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,a/bc;q)_k}{(1-a)(aq/b,aq/c,bcq,q;q)_k}q^k&=\frac{(aq,aq/bc,bq,cq;q)_n}{(aq/b,aq/c,bcq,q;q)_n}
\end{align}
となって示される.
上の証明はJacksonの和公式を用いたが, 左辺の項は$n$に依存していないので, $n$に関して差分を考えることによっても証明できる. 古典的な場合は以下のようになる.
非負整数$n$に対して,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(a+2k)(a,b,c,a-b-c)_k}{a(1+a-b,1+a-c,1+b+c)_kk!}&=\frac{(1+a,1+b,1+c,1+a-b-c)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+b+c)_nn!}
\end{align}
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
