6φ5のq超幾何級数の部分和の和公式

非負整数 $n$ に対して,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(1 - a q^{2 k}) (a, b, c, a / b c; q)_{k}}{(1 - a) (a q / b, a q / c, b c q, q; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(a q, b q, c q, a q / b c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, b c q, q; q)_{n}} \end{aligned}$

が成り立つ.

Jacksonの $_{8} ϕ_{7}$ 和公式
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; q] & = \frac{(a q, a q / b c, a q / b d, a q / c d; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / b c d; q)_{n}} (a^{2} q^{n + 1} = b c d e) \end{aligned}$
より, $e = a q^{n + 1}$ とすると, $d = a / b c$ となり,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(1 - a q^{2 k}) (a, b, c, a / b c; q)_{k}}{(1 - a) (a q / b, a q / c, b c q, q; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(a q, a q / b c, b q, c q; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, b c q, q; q)_{n}} \end{aligned}$
となって示される.

上の証明はJacksonの和公式を用いたが, 左辺の項は $n$ に依存していないので, $n$ に関して差分を考えることによっても証明できる. 古典的な場合は以下のようになる.

非負整数 $n$ に対して,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a + 2 k) (a, b, c, a - b - c)_{k}}{a (1 + a - b, 1 + a - c, 1 + b + c)_{k} k!} & = \frac{(1 + a, 1 + b, 1 + c, 1 + a - b - c)_{n}}{(1 + a - b, 1 + a - c, 1 + b + c)_{n} n!} \end{aligned}$

投稿日：2024年6月2日

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Wataru

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