量子群の2階微分演算子の表現
量子群$U=U_q(\rm{so}(4))$の表現を2階微分演算子を使って構成するメモ書きである。量子群の定義は Wikipedia を参照。
$$\theta_x=x\frac∂{∂x},\ [N]=\frac{q^N-q^{-N}}{q-q^{-1}},\ D_x=\frac1x[\theta_x],\ [N]_r=[rN]/[r]$$
$$[N]_r!=\prod_{k=0}^N[k]_r,\ \binom{N}{M}_r=\frac{[N]_r!}{[N-M]_r![M]_r!}$$
\begin{eqnarray} A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right),α_1=\binom{2}{0},α_2=\binom{-1}{1} \end{eqnarray}
非可換多項式環
$$V=\mathbb C(q)\langle x,y,D_x,D_y\rangle[[θ_x,θ_y]]$$
$$\begin{align}
e_1&=\frac i{[2]}x^2\\
e_2&=yD_x\\
f_1&=\frac i{[2]}D_x^2\\
f_2&=xD_y\\
h_1&=θ_x+\frac12\\
h_2&=-θ_x+θ_y\\
d_i&=(α_i,α_i)/2\\
q_i&=q^{d_i}\\
k_i&=q_i^{h_i}=k_{α_i}\\
k_λ&=q^{d_1λ_1h_1+d_2λ_2h_2}\ \ \ (λ=λ_1α_1+λ_2α_2)
\end{align}
$$
上の対応は$U$から$V$への同型(表現)である。つまり次の恒等式が成立する。
[次数]
\begin{align}
k_0&=1\\
k_λk_μ&=k_{λ+μ}\\
k_λe_ik_λ^{-1}&=q^{(λ,α_i)}e_i\\
k_λf_ik_λ^{-1}&=q^{-(λ,α_i)}f_i\\
\end{align}
[直交性]
$$[e_i,f_j]=e_if_j-f_je_i=\delta_{ij}[h_i]_{d_i}$$
[$q$-Serre関係式]
\begin{align}
e_2^3e_1-[3]e_2^2e_1e_2+[3]e_2e_1e_2^2-e_1e_2^3&=0\\
f_2^3f_1-[3]f_2^2f_1f_2+[3]f_2f_1f_2^2-f_1f_2^3&=0\\
e_1^2e_2-[2]_2e_1e_2e_1+e_2e_1^2&=0\\
f_1^2f_2-[2]_2f_1f_2f_1+f_2f_1^2&=0
\end{align}
$a+c=b+d$のとき
$$[a][b]-[c][d]=[a+c][b-d]=[b-c][a+c]$$
$Ad(x):A\mapsto xAx^{-1}$はVの同型。
特に、$Ad(x)・θ_x=θ_x-1$
[次数]
指数法則から示せる。
\begin{align}
k_1e_1k_1^{-1}&=e_1q^{2(θ_x+2)+1-(2θ_x+1)}=q^{(α_1,α_1)}e_1\\
k_2e_1k_2^{-1}&=e_1q^{-(θ_x+2)+θ_x}=q^{(α_1,α_2)}e_1\\
k_1e_2k_1^{-1}&=e_2q^{2(θ_x-1)+1-(2θ_x+1)}=q^{(α_1,α_2)}e_2\\
k_2e_2k_2^{-1}&=e_2q^{-(θ_x-1)+θ_x+(θ_y+1)-θ_y}=q^{(α_2,α_2)}e_2\\
\end{align}
$f$も同様。
[直交性]
$i\neq j$ならば$[e_i,f_j]=0$は自明。補題を使う。
$$[e_1,f_1]=[2]^{-2}([θ_x+2][θ_x+1]-[θ_x][θ_x-1])=[2θ_x+1]/[2]$$
$$[e_2,f_2]=[θ_x+1][θ_y]-[θ_x][θ_y+1]=[-θ_x+θ_y]$$
[$q$-Serre関係式]
補題を使う。
\begin{align}
&e_2^3e_1-[3]e_2^2e_1e_2+[3]e_2e_1e_2^2-e_1e_2^3\\
=&\frac{iy^3}{[2]x}[θ_x]([θ_x+2][θ_x+1]-[3][θ_x+1][θ_x]+[3][θ_x][θ_x-1]-[θ_x-1][θ_x-2])\\
=&\frac{iy^3}{[2]x}[θ_x]([3][2θ_x]-[3][2θ_x])\\
=&0\\
&f_2^3f_1-[3]f_2^2f_1f_2+[3]f_2f_1f_2^2-f_1f_2^3\\
=&\frac{ix}{[2]}D_y^3([θ_x][θ_x-1]-[3][θ_x+1][θ_x]+[3][θ_x+2][θ_x+1]-[θ_x+3][θ_x+2])\\
=&0\\
&e_1^2e_2-[2]_2e_1e_2e_1+e_2e_1^2\\
=&\frac{i^2x^3y}{[2]^3}([2][θ_x]-[4][θ_x+2]+[2][θ_x+4])\\
=&\frac{i^2x^3y}{[2]^3}([2][θ_x+4]-[2][θ_x+4])\\
=&0\\
&f_1^2f_2-[2]_2f_1f_2f_1+f_2f_1^2\\
=&\frac{i^2y}{[2]^3x^3}[θ_x]([2][θ_x+1][θ_x]-[4][θ_x][θ_x-1]+[2][θ_x][θ_x-3])\\
=&\frac{i^2y}{[2]^3x^3}(-[2][θ_x][θ_x-3]+[2][θ_x][θ_x-3])\\
=&0
\end{align}
一番簡潔な証明にまで落とし込んだ。
2次の関係式が直感的に使えるようになってきたので計算スピードが格段に上がった。
今後はこれを用いて、Jantzen, J. C. Lectures on Quantum Groups. American Mathematical Society, 1996.の解読を進めていきたい。