量子群の2階微分演算子の表現

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量子群 $U = U_{q} (s o (4))$ の表現を2階微分演算子を使って構成するメモ書きである。量子群の定義は Wikipedia を参照。

q

類似

$θ_{x} = x \frac{\partial}{\partial x}, [N] = \frac{q^{N} - q^{- N}}{q - q^{- 1}}, D_{x} = \frac{1}{x} [θ_{x}], [N]_{r} = [r N] / [r]$
$[N]_{r}! = \prod_{k = 0}^{N} [k]_{r}, {(\binom{N}{M})}_{r} = \frac{[N]_{r}!}{[N - M]_{r}! [M]_{r}!}$

Cartan行列,単純ルート(

C_{2}

型)

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ - 2 & 2 \end{array}), α_{1} = (\binom{2}{0}), α_{2} = (\binom{- 1}{1}) \end{array}$

生成元

非可換多項式環
$V = C (q) ⟨ x, y, D_{x}, D_{y} ⟩ [[θ_{x}, θ_{y}]]$
$\begin{aligned} e_{1} & = \frac{i}{[2]} x^{2} \\ e_{2} & = y D_{x} \\ f_{1} & = \frac{i}{[2]} D_{x}^{2} \\ f_{2} & = x D_{y} \\ h_{1} & = θ_{x} + \frac{1}{2} \\ h_{2} & = - θ_{x} + θ_{y} \\ d_{i} & = (α_{i}, α_{i}) / 2 \\ q_{i} & = q^{d_{i}} \\ k_{i} & = q_{i}^{h_{i}} = k_{α_{i}} \\ k_{λ} & = q^{d_{1} λ_{1} h_{1} + d_{2} λ_{2} h_{2}} (λ = λ_{1} α_{1} + λ_{2} α_{2}) \end{aligned}$

U

の表現

上の対応は $U$ から $V$ への同型(表現)である。つまり次の恒等式が成立する。
[次数]
$\begin{aligned} k_{0} & = 1 \\ k_{λ} k_{μ} & = k_{λ + μ} \\ k_{λ} e_{i} k_{λ}^{- 1} & = q^{(λ, α_{i})} e_{i} \\ k_{λ} f_{i} k_{λ}^{- 1} & = q^{- (λ, α_{i})} f_{i} \end{aligned}$
[直交性]
$[e_{i}, f_{j}] = e_{i} f_{j} - f_{j} e_{i} = δ_{i j} [h_{i}]_{d_{i}}$
[ $q$ -Serre関係式]
$\begin{aligned} e_{2}^{3} e_{1} - [3] e_{2}^{2} e_{1} e_{2} + [3] e_{2} e_{1} e_{2}^{2} - e_{1} e_{2}^{3} & = 0 \\ f_{2}^{3} f_{1} - [3] f_{2}^{2} f_{1} f_{2} + [3] f_{2} f_{1} f_{2}^{2} - f_{1} f_{2}^{3} & = 0 \\ e_{1}^{2} e_{2} - [2]_{2} e_{1} e_{2} e_{1} + e_{2} e_{1}^{2} & = 0 \\ f_{1}^{2} f_{2} - [2]_{2} f_{1} f_{2} f_{1} + f_{2} f_{1}^{2} & = 0 \end{aligned}$

q

括弧の2次の恒等式

$a + c = b + d$ のとき
$[a] [b] - [c] [d] = [a + c] [b - d] = [b - c] [a + c]$

演算子代数

V

の準同型

$A d (x) : A \mapsto x A x^{- 1}$ はVの同型。
特に、 $A d (x) ・ θ_{x} = θ_{x} - 1$

[次数]
指数法則から示せる。
$\begin{aligned} k_{1} e_{1} k_{1}^{- 1} & = e_{1} q^{2 (θ_{x} + 2) + 1 - (2 θ_{x} + 1)} = q^{(α_{1}, α_{1})} e_{1} \\ k_{2} e_{1} k_{2}^{- 1} & = e_{1} q^{- (θ_{x} + 2) + θ_{x}} = q^{(α_{1}, α_{2})} e_{1} \\ k_{1} e_{2} k_{1}^{- 1} & = e_{2} q^{2 (θ_{x} - 1) + 1 - (2 θ_{x} + 1)} = q^{(α_{1}, α_{2})} e_{2} \\ k_{2} e_{2} k_{2}^{- 1} & = e_{2} q^{- (θ_{x} - 1) + θ_{x} + (θ_{y} + 1) - θ_{y}} = q^{(α_{2}, α_{2})} e_{2} \end{aligned}$
$f$ も同様。
[直交性]
$i \neq j$ ならば $[e_{i}, f_{j}] = 0$ は自明。補題を使う。
$[e_{1}, f_{1}] = [2]^{- 2} ([θ_{x} + 2] [θ_{x} + 1] - [θ_{x}] [θ_{x} - 1]) = [2 θ_{x} + 1] / [2]$
$[e_{2}, f_{2}] = [θ_{x} + 1] [θ_{y}] - [θ_{x}] [θ_{y} + 1] = [- θ_{x} + θ_{y}]$
[ $q$ -Serre関係式]
補題を使う。
$\begin{aligned} e_{2}^{3} e_{1} - [3] e_{2}^{2} e_{1} e_{2} + [3] e_{2} e_{1} e_{2}^{2} - e_{1} e_{2}^{3} \\ = & \frac{i y^{3}}{[2] x} [θ_{x}] ([θ_{x} + 2] [θ_{x} + 1] - [3] [θ_{x} + 1] [θ_{x}] + [3] [θ_{x}] [θ_{x} - 1] - [θ_{x} - 1] [θ_{x} - 2]) \\ = & \frac{i y^{3}}{[2] x} [θ_{x}] ([3] [2 θ_{x}] - [3] [2 θ_{x}]) \\ = & 0 \\ f_{2}^{3} f_{1} - [3] f_{2}^{2} f_{1} f_{2} + [3] f_{2} f_{1} f_{2}^{2} - f_{1} f_{2}^{3} \\ = & \frac{i x}{[2]} D_{y}^{3} ([θ_{x}] [θ_{x} - 1] - [3] [θ_{x} + 1] [θ_{x}] + [3] [θ_{x} + 2] [θ_{x} + 1] - [θ_{x} + 3] [θ_{x} + 2]) \\ = & 0 \\ e_{1}^{2} e_{2} - [2]_{2} e_{1} e_{2} e_{1} + e_{2} e_{1}^{2} \\ = & \frac{i^{2} x^{3} y}{[2]^{3}} ([2] [θ_{x}] - [4] [θ_{x} + 2] + [2] [θ_{x} + 4]) \\ = & \frac{i^{2} x^{3} y}{[2]^{3}} ([2] [θ_{x} + 4] - [2] [θ_{x} + 4]) \\ = & 0 \\ f_{1}^{2} f_{2} - [2]_{2} f_{1} f_{2} f_{1} + f_{2} f_{1}^{2} \\ = & \frac{i^{2} y}{[2]^{3} x^{3}} [θ_{x}] ([2] [θ_{x} + 1] [θ_{x}] - [4] [θ_{x}] [θ_{x} - 1] + [2] [θ_{x}] [θ_{x} - 3]) \\ = & \frac{i^{2} y}{[2]^{3} x^{3}} (- [2] [θ_{x}] [θ_{x} - 3] + [2] [θ_{x}] [θ_{x} - 3]) \\ = & 0 \end{aligned}$

一番簡潔な証明にまで落とし込んだ。
2次の関係式が直感的に使えるようになってきたので計算スピードが格段に上がった。
今後はこれを用いて、Jantzen, J. C. Lectures on Quantum Groups. American Mathematical Society, 1996.の解読を進めていきたい。

投稿日：2023年8月13日

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赤げふ

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東工大情報B4 数学,理論物理,Minecraft計算機/微分演算子の記事を書きます/主に表現論,量子群,物理の数理に興味があります

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