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量子群の2階微分演算子の表現

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$$\newcommand{aa}[0]{\alpha} \newcommand{ad}[0]{\mathrm{ad}} \newcommand{bb}[0]{\beta} \newcommand{dd}[0]{\delta} \newcommand{DD}[0]{\Delta} \newcommand{ee}[0]{\epsilon} \newcommand{g}[0]{\mathfrak g} \newcommand{GG}[0]{\Gamma} \newcommand{gg}[0]{\gamma} \newcommand{hb}[0]{\hbar} \newcommand{K}[0]{\mathbb K} \newcommand{kk}[0]{\kappa} \newcommand{ll}[0]{\lambda} \newcommand{LL}[0]{\Lambda} \newcommand{oo}[0]{\omega} \newcommand{OO}[0]{\Omega} \newcommand{p}[0]{\partial} \newcommand{q}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{sgn}[0]{\mathrm{sgn}} \newcommand{SS}[0]{\sigma} \newcommand{tt}[0]{\theta} \newcommand{TT}[0]{\Theta} \newcommand{uu}[0]{\upsilon} \newcommand{V}[0]{\mathbb V} \newcommand{ve}[0]{\varepsilon} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} $$

量子群$U=U_q(\rm{so}(4))$の表現を2階微分演算子を使って構成するメモ書きである。量子群の定義は Wikipedia を参照。

$q$類似

$$\theta_x=x\frac∂{∂x},\ [N]=\frac{q^N-q^{-N}}{q-q^{-1}},\ D_x=\frac1x[\theta_x],\ [N]_r=[rN]/[r]$$
$$[N]_r!=\prod_{k=0}^N[k]_r,\ \binom{N}{M}_r=\frac{[N]_r!}{[N-M]_r![M]_r!}$$

Cartan行列,単純ルート($C_2$型)

\begin{eqnarray} A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right),α_1=\binom{2}{0},α_2=\binom{-1}{1} \end{eqnarray}

生成元

非可換多項式環
$$V=\mathbb C(q)\langle x,y,D_x,D_y\rangle[[θ_x,θ_y]]$$
$$\begin{align} e_1&=\frac i{[2]}x^2\\ e_2&=yD_x\\ f_1&=\frac i{[2]}D_x^2\\ f_2&=xD_y\\ h_1&=θ_x+\frac12\\ h_2&=-θ_x+θ_y\\ d_i&=(α_i,α_i)/2\\ q_i&=q^{d_i}\\ k_i&=q_i^{h_i}=k_{α_i}\\ k_λ&=q^{d_1λ_1h_1+d_2λ_2h_2}\ \ \ (λ=λ_1α_1+λ_2α_2) \end{align} $$

$U$の表現

上の対応は$U$から$V$への同型(表現)である。つまり次の恒等式が成立する。
[次数]
\begin{align} k_0&=1\\ k_λk_μ&=k_{λ+μ}\\ k_λe_ik_λ^{-1}&=q^{(λ,α_i)}e_i\\ k_λf_ik_λ^{-1}&=q^{-(λ,α_i)}f_i\\ \end{align}
[直交性]
$$[e_i,f_j]=e_if_j-f_je_i=\delta_{ij}[h_i]_{d_i}$$
[$q$-Serre関係式]
\begin{align} e_2^3e_1-[3]e_2^2e_1e_2+[3]e_2e_1e_2^2-e_1e_2^3&=0\\ f_2^3f_1-[3]f_2^2f_1f_2+[3]f_2f_1f_2^2-f_1f_2^3&=0\\ e_1^2e_2-[2]_2e_1e_2e_1+e_2e_1^2&=0\\ f_1^2f_2-[2]_2f_1f_2f_1+f_2f_1^2&=0 \end{align}

$q$括弧の2次の恒等式

$a+c=b+d$のとき
$$[a][b]-[c][d]=[a+c][b-d]=[b-c][a+c]$$

演算子代数$V$の準同型

$Ad(x):A\mapsto xAx^{-1}$はVの同型。
特に、$Ad(x)・θ_x=θ_x-1$

[次数]
指数法則から示せる。
\begin{align} k_1e_1k_1^{-1}&=e_1q^{2(θ_x+2)+1-(2θ_x+1)}=q^{(α_1,α_1)}e_1\\ k_2e_1k_2^{-1}&=e_1q^{-(θ_x+2)+θ_x}=q^{(α_1,α_2)}e_1\\ k_1e_2k_1^{-1}&=e_2q^{2(θ_x-1)+1-(2θ_x+1)}=q^{(α_1,α_2)}e_2\\ k_2e_2k_2^{-1}&=e_2q^{-(θ_x-1)+θ_x+(θ_y+1)-θ_y}=q^{(α_2,α_2)}e_2\\ \end{align}
$f$も同様。
[直交性]
$i\neq j$ならば$[e_i,f_j]=0$は自明。補題を使う。
$$[e_1,f_1]=[2]^{-2}([θ_x+2][θ_x+1]-[θ_x][θ_x-1])=[2θ_x+1]/[2]$$
$$[e_2,f_2]=[θ_x+1][θ_y]-[θ_x][θ_y+1]=[-θ_x+θ_y]$$
[$q$-Serre関係式]
補題を使う。
\begin{align} &e_2^3e_1-[3]e_2^2e_1e_2+[3]e_2e_1e_2^2-e_1e_2^3\\ =&\frac{iy^3}{[2]x}[θ_x]([θ_x+2][θ_x+1]-[3][θ_x+1][θ_x]+[3][θ_x][θ_x-1]-[θ_x-1][θ_x-2])\\ =&\frac{iy^3}{[2]x}[θ_x]([3][2θ_x]-[3][2θ_x])\\ =&0\\ &f_2^3f_1-[3]f_2^2f_1f_2+[3]f_2f_1f_2^2-f_1f_2^3\\ =&\frac{ix}{[2]}D_y^3([θ_x][θ_x-1]-[3][θ_x+1][θ_x]+[3][θ_x+2][θ_x+1]-[θ_x+3][θ_x+2])\\ =&0\\ &e_1^2e_2-[2]_2e_1e_2e_1+e_2e_1^2\\ =&\frac{i^2x^3y}{[2]^3}([2][θ_x]-[4][θ_x+2]+[2][θ_x+4])\\ =&\frac{i^2x^3y}{[2]^3}([2][θ_x+4]-[2][θ_x+4])\\ =&0\\ &f_1^2f_2-[2]_2f_1f_2f_1+f_2f_1^2\\ =&\frac{i^2y}{[2]^3x^3}[θ_x]([2][θ_x+1][θ_x]-[4][θ_x][θ_x-1]+[2][θ_x][θ_x-3])\\ =&\frac{i^2y}{[2]^3x^3}(-[2][θ_x][θ_x-3]+[2][θ_x][θ_x-3])\\ =&0 \end{align}

一番簡潔な証明にまで落とし込んだ。
2次の関係式が直感的に使えるようになってきたので計算スピードが格段に上がった。
今後はこれを用いて、Jantzen, J. C. Lectures on Quantum Groups. American Mathematical Society, 1996.の解読を進めていきたい。

投稿日:2023813

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赤げふ
赤げふ
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東工大情報理工B3 数学,理論物理,Minecraft計算機/微分演算子の記事を書きます/主に表現論,量子群,物理の数理に興味があります

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